Question

A função trigonométrica equivalente a $\frac{sec x + senx}{cossecx + cos x}$ é :

a) senx b)cotgx c) secx d) cossecx e) tgx

Answer 1

Olá

Alternativa correta, letra e) tgx

$\displaystyle \mathsf{ \frac{secx+senx}{cscx+cosx} }\\\\\\\text{Podemos reescrever 'secx' como } \mathsf{\frac{1}{cosx} }\\\\\text{e podemos reescrever 'cscx' como }\mathsf{ \frac{1}{senx} }\\\\\\ \mathsf{ \frac{ \frac{1}{cosx} +senx}{ \frac{1}{senx} +cosx} }\\\\\\\text{Tira o MMC entre }\mathsf{ \frac{1}{cosx}~ e~ senx }\\\\\\\text{E tambem entre }\mathsf{ \frac{1}{senx} ~e~ cosx }\\\\\\ \mathsf{\frac{ \frac{1+cosx\cdot senx}{cosx} }{ \frac{1+cosx\cdot senx}{senx} } }$

$\displaystyle\text{Temos uma divisao de fracoes, entao, multiplica a primeira,}\\\text{pelo inverso da segunda}\\\\\\\mathsf{ \frac{1+cosx\cdot senx}{cosx}~\cdot ~ \frac{senx}{1+cosx\cdot senx} }\\\\\\\text{Podemos fazer a simplificacao}\\\\\\\mathsf{ \frac{\diagup\!\!\!\!1+\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!cosx\cdot \diagup\!\!\!\!\!\!senx}{cosx}~\cdot ~ \frac{senx}{\diagup\!\!\!\!1+\diagup\!\!\!\!\!\!cosx\cdot\diagup\!\!\!\!\!\! senx} }\\\\\\\mathsf{ \frac{senx}{cosx} }$

$\displaystyle \boxed{\mathsf{ \frac{secx+senx}{cscx+cosx}~=~tanx } }~~~~~ ~~\Longrightarrow \text{Alternativa e)}$

Answer 2

Ao relacionar com as propriedades trigonométricas, descobrimos que a expressão (secx + senx)/(cscx + cosx) equivale a tgx. (alternativa e).

Para responder o enunciado, temos que entender a relação dos números complexos quando estão relacionados a trigonometria.

Dado a expressão: (secx + senx)/(cscx + cosx)

Sabendo que secx = 1/cosx e cossecx = 1/senx

Substituindo na expressão:

((1/cosx) + senx) / ((1/senx) + cosx)

Agora, vamos descobrir o MMC do 1/cosx e senx como também (1/senx) e cosx:

Temos assim:

((1+cos*senx)/cosx  ) / ((1+cosx*senx)/senx)

Simplificando a expressão:

senx/cosx

(secx + senx) / (cscx + cosx) = tanx

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