Question

A função f : Z → N definida por f(x) = x² é sobrejetora.

Answer 1

Questão sobre Classificação de Funções.

• Explicação :

Começaremos realizando uma breve retomada dos conceitos introdutórios de funções :

Dada uma função f(x) qualquer definida por :

      f(x) = A ➜ B, é tido que :

1. A → Conjunto Domínio (Conjunto formado por todos os valores que o x (variável independente) pode assumir).
2. B → Conjunto Contradomínio (Conjunto formado por todos os valores possíveis de y obtidos ao se aplicar a lei da função).

➤ Observação : O conjunto Imagem de uma função é formado pelos valores de y ∈ Contradomínio que possuem um correspondente no Domínio.

• Sobrejetividade de uma função :

       Uma função será sobrejetora se e somente se :

↳ O Contradomínio for igual ao conjunto Imagem da função.

Ou seja, para todo e qualquer valor de x ∈ Domínio sempre existirá um valor correspondente de y ∈ Contradomínio.

• Análise do Comportamento da Função :

Domínio → Composto por números inteiros positivos e negativos. (Conjunto dos Inteiros)

Contradomínio → Composto por números inteiros positivos. (Conjunto dos naturais)

Note que para qualquer x ∈ Z a sua imagem (o seu y correspondente) sempre será algum número ∈ N já que :

$x > 0$ → $f(x) > 0$

$x < 0$ → $f(x) > 0$

↳ Números negativos elevados ao quadrado se tornam positivos

↳ Números positivos elevados ao quadrado permanecem positivos

Como a Imagem de qualquer valor do Domínio sempre será um número inteiro positivo ou seja um número natural, e o conjunto dos naturais corresponde ao Contradomínio é provado que f(x) = x² é sobrejetora.

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