Question

A função f(x) = log[(1 - x)/(x + 2)] tem por domínio:

A) ]-2,1[
B) R - {-2}
C) R - {-2, 1}
D) ]-infinito, -2[ U [1, + infinito[
E) R

Answer 1

Temos a função f dada por:

$f(x) = log\left(\dfrac{1-x}{x+2}\right)$

Pela propriedade do logaritmo:

$log\left(\dfrac{a}{b}\right) = log(a)-log(b)$

Podemos modificar f:

$f(x) = log(1-x)-log(x+2)$

Agora podemos analisar essa função de forma mais simples que a anterior. Para x pertencer ao domínio de f precisamos ter certeza que existe f(x) real que o obtenha, isso implica que todo x' fora do domínio não existe f(x').

E quais são os possíveis valores de x que façam f(x) não existir? Os valores que tentam fazer o logaritmo de um número negativo:

$log(k) \notin \mathbb{R}  \iff k \leq0$

Portanto, os valores de x que não pertencem ao domínio são os quais deixam o logaritmando negativo.

$x \notin \mathbb{D} \iff log(1-x) \notin \mathbb{R} \:\:\: ou \:\:\: log(x+2)\notin \mathbb{R}$

$\implies 1-x\leq0 \implies x\geg1$

$\implies x+2 \geq0\implies x\leq-2$

Isso nos diz que se x ≥ 1 ou x ≤ -2, então x não pertence ao domínio, ou seja, os únicos valores de x que está no domínio são o complemento do conjunto que não pertencem ao domínio, que é quando x < 1 e x > -2

$\therefore \mathbb{D} = \{x \:| \: -2<x<1\} = ]-2,1[$

Alternativa a) ]-2, 1[