Question

A função f(x) do segundo grau tem raízes-1 E 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico f(x) é igual a 8. Determine f(x)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Leonardo, que a resolução parece simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para escrever a equação f(x) 2º grau da qual já sabemos que suas raízes são: x' = -1; e x'' = 1 e que a ordenada do vértice dessa equação é igual a "8".

ii) Veja que uma equação do 2º grau é aquela da forma: f(x) = ax² + bx + c. Note que uma equação do 2º grau da forma vista aí em cima e que tenha raízes iguais a x' e x'', ela poderá ser expressa em função de suas raízes da seguinte forma:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x'')               . (I)

No caso da função da sua questão já sabemos que as raízes são: x' = -1 e x'' = 1. Assim, substituindo-se na expressão (I) aí de cima, teremos isto:

ax² + bx + c = a*(x-(-1))*(x-1)

ax² + bx + c = a*(x+1)*(x-1) ----- note que (x+1)*(x-1) = x²-1. Assim:

ax² + bx + c = a*(x²-1) ----- desenvolvendo, temos:

ax² + bx + c = ax² - a              . (II)

Agora note isto: pelo que vemos aí em cima na expressão (II) a equação do 2º grau da sua questão não terá o termo "b" (que é o coeficiente de x). Assim, se formos precisar desse termo "b" daqui pra frente deveremos considerá-lo igual a zero. Atente que a equação a que chegamos no item (II) acima é esta: f(x) = ax² - a, sendo o termo b = 0 e o termo "c" igual a "-a".

iii) Mas ainda temos outra informação. É que a ordenada do vértice da equação do 2º grau da sua questão é igual a "8".

Veja que a ordenada do vértice (yv) é dada pela seguinte fórmula:

yv = -(b²-4ac)/4a ----- substituindo-se "yv" por "8", teremos:

8 = -(b²-4ac)/4a --- substituindo-se "b" por "0" e "c" por "-a", teremos:

8 = -(0² - 4*a*(-a))/4a

8 = -(0 + 4a²)/4a--- ou apenas:

8 = -(4a²)/4a ---- note que -(4a²)/4a = - a. Logo:

8 = - a ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1" e invertendo, temos:

a = - 8 <--- Este é o valor do termo "a".

iii) Assim, para encontrar a equação do 2º grau da sua questão iremos na expressão (II), que é esta, e, nela, substituiremos "a" por "-8":

f(x) = ax² - a ------ substituindo-se "a" por "-8", teremos:

f(x) = -8x² - (-8) ----- ou apenas:

f(x) = -8x² + 8 <--- Esta é a resposta. Esta é a equação do 2º grau pedida.

Apenas pra você ter uma ideia visual, veja o gráfico desta equação no endereço abaixo (pois aqui no Brainly eu não sei construir gráficos) e constante tudo o que se disse sobre ela.Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-8x%C2%B2+%2B+8

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.