A função f: R-->R é definida por f(x)=(m²-4) . x²+ (m-2) . x-10
a) Para que valores de m a função f é quadrática?
b) Existe algum valor de m para o qual a função é afim?
c) Considere m=3
Calcule os valores f(0), f(2), f(-3)
Calcule x para que f(x)=8
Soluções para a tarefa
Resposta:
a) m ≠ ± 2
b) m = - 2
c) 9/5 e - 2
Explicação passo-a-passo:
a)
A função será quadrática se x² não for "cancelado" quando fizemos m² - 4. Ou seja, precisamos calcular para que valores x² seria cancelado. Os valores que façam com que a função seja quadrática serão aqueles diferentes dos encontrados.
Para cancelar, m² - 4 seria igual a 0.
m² - 4 = 0
m² = 4
m = ± √4
- m = ± 2
Ou seja, m será quadrática se for diferente de +2 ou - 2 (±2).
b)
Bom, para isso, vamos nos basear nos valores que fazem f(x) deixar de ser quadrática:
+ 2 e - 2. Agora, vamos testar:
Para m = 2
f(x) = (m² - 4) x² + (m - 2)x - 10
f(x) = (2² - 4) x² + (2-2)x - 10
f(x) = 0x² + 0x - 10
f(x) = - 10
Opa! Isso não é uma função afim, pois funções afim são da forma f(x) = ax + b, sendo a ≠ 0. Nesse caso, nossa a seria 0. Por isso, não satisfaz.
Para m = - 2
f(x) = (m² - 4) x² + (m - 2)x - 10
f(x) = ((-2)² - 4) x² + (-2-2)x - 10
f(x) = 0x² - 4x - 10
- f(x) = - 4x - 10
É função afim! Portanto, f(x) é afim para m = - 2.
c)
Fazendo m = 3:
f(x) = (3² - 4) x² + (3 - 2)x - 10
f(x) = (9-4)x² + 1x - 10
f(x) = 5x² + x - 10
Essa será a função que utilizaremos nas respostas.
f(0)
f(0) = 5 × 0² + 0 - 10
f(0) = - 10
f(2)
f(2) = 5 × 2² + 2 - 10
f(2) = 5 × 4 - 8
f(2) = 20 - 8
f(2) = 12
f(-3)
f(-3) = 5 × (-3)² - 3 - 10
f(-3) = 5 × 9 - 13
f(-3) = 45 - 13
f(-3) = 32
f(x) = 8
f(x) = 5x² + x - 10
Igualando:
5x² + x - 10 = 8
5x² + x - 10 - 8 = 0
5x² + x - 18 = 0
Calculando o ∆:
∆ = b² - 4ac
∆ = 1² - 4 × 5 × - 18
∆ = 1 + 360
∆ = 361
x = (-b ± √∆)/2a
x = (-1 ± √361)/ (2 × 5)
x = (-1 ± 19)/10
x' = (-1 + 19)/10
x' = 18/10
Simplificando:
- x' = 9/5
x" = (-1-19)/10
x" = -20/10
- x" = - 2