Question

A função f é tal que, para cada número real x, vale a relação f (x) + f (x-1) = x². Se f (19) = 94, então f(94) vale:

Answer 1

A função fé tal que, para cada número real x, vale a relação f(x)+f(x-1)=x^2.Se f(19)=94, então f(94) vale?

Seja f(x)=n tal que:

Assim nós temos que

f(x+1)=(x+1)^2-n=(x+1)^2-f(x)

Logo

f(x+2)=(x+2)^2-(x+1)^2+n=n+(2x+3)=f(x)+(2x+3)

Fazendo x=19 temos,

f(21)=f(19)+2.19+3=19+2.19+3

f(23)=f(21)+2.21+3=(19+2.19+3)+2.21+3=19+2.(19+21)+3+3

...

f(93)=19+2.(19+21+23+...+91)+3.37=4275

De f(x+1)=(x+1)^2-f(x) encontramos,

f(94)=94^{2}-4275=4561

f(94)={4561}

Answer 2

Resposta: 4561

Explicação passo-a-passo:

Sabe-se que f(x) + f(x - 1) = x², para qualquer que seja o valor real de x (para todo x real). Assim sendo, obteremos:

f(x) + f(x - 1) = x² =>

f(x) = x² - f(x - 1) =>

f(94) = 94² - f(93) (i)

f(93) = 93² - f(92) (ii)

f(92) = 92² - f(91) (iii)

.

.

.

f(21) = 21² - f(20) (lxxiv)

f(20) = 20² - f(19) (lxxv) *

Com isso, basta inserir (ii), (iii), ..., (lxxiv) e (lxxv) em (i). Logo, obteremos a seguinte equação:

f(94) = 94² - 93² + 92² - 91² + ... + 22² - 21² + 20² - f(19) =>

f(94) = (94² - 93²) ** + (92² - 91²) + ... + (22² - 21²) + [20² - f(19)] =>

f(94) = (94 + 93)(94 - 93) + (92 + 91)(92 - 91) + ... + (22 + 21)(22 - 21) + [20² - f(19)] =>

f(94) = (94 + 93) + (92 + 91) + ... + (22 + 21) + [20² - f(19)] =>

f(94) = (94 + 93 + 92 + 91 + ... + 22 + 21) *** + [20² - f(19)] =>

f(94) = 4255 + [400 - f(19)] e f(19) = 94 =>

f(94) = 4255 + 306 =>

f(94) = 4561

*** Soma dos 74 termos da P.A. (Progressão Aritmética) de primeiro termo 21, septuagésimo quarto termo 94 e razão r = 1.

** É sabido que a² - b² = (a + b)(a - b) (Identidade Algébrica Notável).

* De 20 até 94, temos [(94 - 20) + 1] números, ou seja, 75 números.

Abraços!