Question

A função definida por f ( x) = 1 - x² corresponde a uma parábola simétrica em relação ao eixo dos y,encontre a reta tangente a parabola no ponto x=2.

Answer 1

Achando o par no ponto dado:

$y=f(2)=1- 2^{2}$

$y=f(2)=1-4$

$y=f(2)=-3$

O ponto é (2,-3) - Guardamos essa informação para utilização mais a frente!

O próximo passo, é derivar a função:

$f(x)=1- x^{2}$

Derivando, temos:

$f'(x)=0- 2x^{2-1}$ (Utilizando a tabela de derivadas - constante sozinha é igual a zero e, para derivar "x elevado a n", colocamos o expoente multiplicando o x e subtraímos 1 do expoente)

$f'(x)=-2 x^{1}$ (Não se faz necessário escrever o expoente 1)

$f'(x)=-2 x$ (essa é a derivada da função)

Agora, vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto x=2 com essa derivada:

$f'(x)=a=-2*2$ (Substituímos o valor de x)

$f'(x)=a=-4$

O coeficiente angular da reta tangente é igual a -4.

Agora, calculamos a equação da reta no ponto (2,-3) com a fórmula geral da reta:

$y- y_{0}=a*( x- x_{0})$

Substituindo com as informações encontradas até agora:

$y- (-3)=-4*( x- 2)$

Resolvendo:

$y+3=-4x+8$ (Agora, isolamos o y - O 3 está somando e passa para o outro lado subtraindo)

$y=-4x+8-3$ (Agora, apenas resolução algébrica)

$y=-4x+5$

A reta tangente no ponto x=2 é a reta de equação $y=-4x+5$

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

y+3=-4 (x-2)

Explicação passo-a-passo:

https://geoconic.blogspot.com/p/f-x-1-x-encontre-reta-tangente-parabola.html

A função definida por f ( x) = 1 - x² corresponde a uma parábola simétrica em relação ao eixo dos y,encontre a reta tangente a parabola no ponto x=2.  

f ( x) ou y = 1 - x²    e Ponto x=2 é da parábola, logo y=1-2^2=-3.

y = 1 - x² => -x^2=y-1 => x^2=-y+1 => x^2=-(y-1), onde o vértice da parábola será (0,1), seu eixo será (x=0), coincidente as ordenadas, e o coeficiente negativo indica que a diretriz paralela as abcissas, decaindo em "y".

P(2,-3) tem como reta (y+3)=m(x-2) => y=mx-2m-3 =>  

y=y, logo

mx-2m-3 = 1-x^2 =>mx-2m-3-1=-x^2 => -mx+2m+4=x^2, x^2+mx-2m-4=0 =>  

Ponto de interceptação entre parábola e tangente é único, logo delta = zero, forçando a equação quadrática ter um único resultado, que será o coeficiente angular da tangente .

m^2-4*(1)*(-2m-4)=0 => m^2+8m+16=0

m=-4, então a equação da reta tangente será para P(2,-3) => y+3=-4 (x-2)

 Conferindo  

=> x=-b/2a => 4/2 = 2 => x=2  

y=1-2^2 => y=-3, Conferindo    P(2,-3)