Question

A função custo marginal de um fabricante é $6q^{2}-4q+2$ reais por unidade, onde "q" é o número de unidades produzidas. O custo total para produzir a primeira unidade é de 500 reais. Determine o custo total para produzir 20 unidades.

Answer 1

Olá!

Nos cursos de administração e economia, a função custo marginal é tida como sendo a derivada da função custo total (ou receita).
 
 Consideremos $\mathsf{f(q)}$ a função custo total. De acordo com o enunciado, temos:

$\begin{cases} \mathsf{f'(q) = 6q^2 - 4q + 2 \qquad (i)} \\ \mathsf{f(1) = 500 \qquad \qquad \qquad (ii)} \end{cases}$


 Ora, desenvolvendo (i),

$\\ \mathsf{f'(q) = 6q^2 - 4q + 2} \\\\ \mathsf{\int f'(q) = \int (6q^2 - 4q + 2) \ dq} \\\\\\ \mathsf{f(q) = \frac{6q^3}{3} - \frac{4q^2}{2} + 2q + Constante} \\\\ \mathsf{f(q) = 2q^3 - 2q^2 + 2q + C}$
 
 Encontremos a constante C; afinal, este termo pertence à função custo total. Usando (ii),

$\\ \mathsf{f(q) = 2q^3 - 2q^2 + 2q + C} \\\\ \mathsf{f(1) = 2 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + C} \\\\ \mathsf{500 = 2 - 2 + 2 + C} \\\\ \boxed{\mathsf{C = 498}}$
 
 Determinada a função custo total, finalizamos o exercício substituindo "q" por 20. Veja:
 
$\\ \mathsf{f(q) = 2q^3 - 2q^2 + 2q + 498} \\\\ \mathsf{f(20) = 2 \cdot (20)^3 - 2 \cdot (20)^2 + 2 \cdot (20) + 498} \\\\ \mathsf{f(20) = 16000 - 800 + 40 + 498} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{f(20) = 15.738,00}}}$