Question

A fração (3^2008)^2-(3^2006)^2/(3^2007)^2-(3^2005)^2 equivale a:

a) 1 b) 9/4 c)9/2 d) 3 e) 9

Answer 1

Resposta:   alternativa e) 9.

Explicação passo a passo:

A ideia aqui é fazer aparecer um fator comum no numerador e no denominador para simplificar a fração. Observe que o menor expoente que aparece entre parênteses é 2005. Então, vamos reescrever todas as potências de modo que esse 2005 apareça:

    $\mathsf{\dfrac{(3^{2008})^2-(3^{2006})^2}{(3^{2007})^2-(3^{2005})^2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(3^{2005+3})^2-(3^{2005+1})^2}{(3^{2005+2})^2-(3^{2005})^2}}$

Aplique as propriedades de operações com potências de mesma base:

    $=\mathsf{\dfrac{(3^{2005}\cdot 3^3)^2-(3^{2005}\cdot 3^1)^2}{(3^{2005}\cdot 3^2)^2-(3^{2005})^2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(3^{2005})^2\cdot (3^3)^2-(3^{2005})^3\cdot 3^2}{(3^{2005})^2\cdot (3^2)^2-(3^{2005})^2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(3^{2005})^2\cdot 3^6-(3^{2005})^2\cdot 3^2}{(3^{2005})^2\cdot 3^4-(3^{2005})^2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{(3^{2005})^2\cdot 729-(3^{2005})^2\cdot 9}{(3^{2005})^2\cdot 81-(3^{2005})^2\cdot 1}}$

Coloque o fator comum em evidência:

    $=\mathsf{\dfrac{(3^{2005})^2\cdot (729-9)}{(3^{2005})^2\cdot (81-1)}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{729-9}{81-1}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{720}{80}}$

    $=\mathsf{9\quad\longleftarrow\quad resposta:~alternativa~e).}$

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