Question

A fração 2^98 + 4^50 - 8^34 / 2^99 - 32^20 + 2^101 é igual a:? alternativas:

a) 1 

b ) -11/6 

c) 2 

d) -5/2

e) 7/4


Com explicação.

Answer 1

Olá.

 

Temos a expressão:

 

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{F=\dfrac{2^{98}+4^{50}-8^{34}}{2^{99}-32^{20}+2^{101}}}\end{array}$

 

O primeiro passo para resolvê-la é colocar todos os valores como potências na base 2. Para isso, devemos fatorar o 4, 8 e 32 por 2 até chegarem na forma mínima. Teremos:

 

$\Large\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}4&2\\2&2\\1\end{array}~~~~~\begin{array}{r|l}8&2\\4&2\\2&2\\1\end{array}~~~~~\begin{array}{r|l}32&2\\16&2\\8&2\\4&2\\2&2\\1\end{array}\end{array}$

 

Com isso, podemos definir:

 

$\Large\begin{array}{l}\begin{cases} \mathsf{04=}&\mathsf{2^2}\\\\ \mathsf{08=}&\mathsf{2^3}\\\\ \mathsf{32=}&\mathsf{2^5} \end{cases}\end{array}$

 

Substituindo na fração, devemos colocar esses valores dentro de parênteses. Tendo feito isso, devemos seguir uma propriedade de potências que demonstro abaixo em sua forma algébrica.

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\left(a^{r}\right)^s=a^{r\times s}} \end{array}$

 

Desenvolvendo a fração com o que foi supracitado, teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{F=\dfrac{2^{98}+4^{50}-8^{34}}{2^{99}-32^{20}+2^{101}}}\\\\\\ \mathsf{F=\dfrac{2^{98}+(2^2)^{50}-(2^3)^{34}}{2^{99}-(2^5)^{20}+2^{101}}}\\\\\\ \mathsf{F=\dfrac{2^{98}+2^{2\times50}-2^{3\times34}}{2^{99}-2^{5\times20}+2^{101}}}\\\\\\ \mathsf{F=\dfrac{2^{98}+2^{100}-2^{102}}{2^{99}-2^{100}+2^{101}}}\end{array}$

 

O próximo passo é colocar um valor em evidência no numerador e no denominador. Para isso, devemos selecionar um valor que esteja presente em ambos os termos. Para descobrir esse valor, vou separar algumas potências usando uma outra propriedade de potências.

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a^{m+n}=a^{m}\times a^n} \end{array}$

 

Depois de separar e colocar em evidência (tornar uma multiplicação), podemos “cortar” os termos colocados em evidência no numerador e no denominador. Teremos:

 

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{F=\dfrac{2^{98}+2^{100}-2^{102}}{2^{99}-2^{100}+2^{101}}}\\\\\\ \mathsf{F=\dfrac{2^{98}+2^{98}\times2^2-2^{98}\times2^4}{2^{98}\times2-2^{98}\times2^2+2^{98}\times2^3}}\\\\\\ \mathsf{F=\dfrac{2^{98}\left(1+2^2-2^4\right)}{2^{98}\left(2-2^2+2^3\right)}}\\\\\\ \mathsf{F=\dfrac{\diagdown\!\!\!\!2^{98}\left(1+4-16\right)}{\diagdown\!\!\!\!2^{98}\left(2-4+8\right)}}\\\\\\\mathsf{F=\dfrac{1+4-16}{2-4+8}}\end{array}$

 

Agora, basta acabar de resolver a fração. Teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{F=\dfrac{1+4-16}{2-4+8}}\\\\\\ \mathsf{F=\dfrac{5-16}{-2+8}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{F=\dfrac{-11}{6}}} \end{array}$

 

Com isso, podemos concluir que a resposta correta está na alternativa B.

 

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$