A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos. Usando a aproximação n = 3, a medida, em cm, do arco externo do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale aproximadamente (A) 22. (B) 31. (C) 34. (D) 29. (E) 20.
Soluções para a tarefa
O ângulo entre o ponteiro dos minutos e o 11 é β e o ângulo entre o número 1 e o ponteiro das horas é α. Então o ângulo formado pelo relógio é β+2π/6+α.
O ponteiro dos minutos percorre o arco β em 1 minuto, assim:
60 min -------- 2πrad
1 min ---------- β
β = 2π/60 = π/30 rad
Já o ponteiro das horas, percorre o arco α em 54 minutos:
60 min -------- π/6 rad
54 min -------- α
α = 54*π/360
α = 3π/20 rad
O ângulo formado pelos ponteiros é:
π/30 + 2π/6 + 3π/20 = 31π/60 rad
O arco é o produto entre o raio e o ângulo:
S = 20*31π/60 = 31*3*1/3 = 31cm
Resposta: alternativa B
A medida do arco externo do relógio determinado pelo ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale 31 cm, ou seja, a alternativa correta é a letra B.
Para responder essa questão devemos, antes de tudo, achar o ângulo formado entre os ponteiros na hora dada. Para isso, temos que ter em mente que um relógio, por ser um círculo completo, tem no total 360°. Como a marcação das horas em um relógio é feita de 12 em 12, temos que cada seção de hora terá 30°:
360°/12 = 30°
Da mesma forma, cada seção de minuto terá 6°, uma vez que no relógio o ciclo dos minutos é de 60 em 60:
360°/60 = 6º
Agora, para o horário dado (1 hora e 54 minutos), o ponteiro dos minutos, partindo do início do ciclo (12) andará 54 seções de minuto, ou seja:
54 x 6° = 324°
Isso significa que o ângulo x entre o ponteiro dos minutos e o eixo vertical em 12 (vide imagem) é de:
x = 360° - 324°
x = 36°
Para o ponteiro das horas temos que ele estará um pouco antes do numeral 2, ou seja, ele terá andado 1 seção de hora de 12 a 1 (30°) e mais um pouco. Para saber o quanto a mais ele andou basta dividir a seção das horas por 60 e depois multiplicar por 54:
y = 30° + [(30°/60) x 54]
y = 57°
Desta forma, o ângulo formado seria:
α = x + y = 36° + 57°
α = 93°
Agora, para achar a medida do arco L, basta usar a seguinte fórmula:
L = (α x π x r)/180°
L = (93° x 3 x 20)/180°
L = 31 cm
Logo, a medida do arco é de 31 cm, portanto, letra B.
Você pode se interessar também por:
brainly.com.br/tarefa/41821144
