Question

A figura mostra um quadrado EFGH inscrito em um quadrado ABCD. Sabendo que o lado do quadrado menor mede 10 cm e que o ângulo AEH mede 15⁰, a área do quadrado maior é: ​

Answer 1

Resposta:

150

Explicação passo a passo:

(veja a figura em anexo)

Traçando a diagonal EG do quadrado menor e de G traçando o segmento (altura) GP paralelo ao lado AD, formamos o triângulo PEG, retângulo em P.

Como EG é diagonal do quadrado, o ângulo HÊG = 45º. Logo:

PÊG = PÊH + HÊG

PÊG = 15º + 45º

PÊG = 60º

Pelo fato de EG ser diagonal do quadrado menor, também podemos calcular sua medida pelo teorema de Pitágoras:

EG² = EF²+FG²

EG² = 10²+10²

EG² = 200

EG = √200 = 10√2

Conhecendo a medida de EG, que é medida da hipotenusa do triângulo PEG, podemos aplicar a lei dos senos e descobrir a medida de GP:

GP/sen60º = EG/sen90º

GP / √3/2 = 10√2 / 1

GP = 10√2 . √3/2

GP = 10√6 / 2

GP = 5√6

Como GP também é altura do quadrado maior, encontramos a medida do lado desse quadrado. Agora, vamos calcular a área:

Área = L² = (5√6)²

Área = 25.6

Área = 150

Obs.: Outra maneira de resolver essa questão é utilizar o sen15º que tem valor de (√6 - √2) / 4. Você pode descobrir esse valor utilizando a fórmula do seno da diferença (sen(a-b) = sena.cosb - senb.cosa), para a = 45º e b = 30º. Tal forma é mais trabalhosa.

Espero ter ajudado :)