Question

A figura mostra um quadrado de lado 4R, dois círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios r,tangentes entre si e aos lados do quadrado.A razão entre R e r é igual à:



(A) raiz de 2


(B) raiz de 3


(C) 3 sobre 2


(D) 2


(E) raiz de 5 sobre 2

Answer 1

Primeiramente, vamos calcular a distância do centro do quadrado até o centro do círculo escuro, distância que vamos chamar de x. Para isso, vamos utilizar o triângulo retângulo formado pela distância x, pelo raio R e pela hipotenusa que será a distância entre os centros dos dois raios, ou seja, R + r.

x² + R² = (R + r)²

x² + R² = R² + 2Rr + r²

x² = 2Rr + r²

Além disso, vamos utilizar outra relação entre x e r. Podemos dizer que o lado do quadrado grande é igual duas vezes a distância x mais duas vezes o raio menor, ou seja:

2x + 2r = 4R

x + r = 2R

x = 2R - r

Igualando as equações, temos:

2Rr + r² = (2R - r)²

2Rr + r² = 4R² - 4Rr + r²

6Rr = 4R²

6r = 4R

R r = 6/4

R/r = 3/2

Portanto, a razão entre o raio maior e o raio menor é 3/2.

Alternativa correta: C.