Question

A figura mostra um quadrado ABCD de lado 1 cm e arcos de circunferência DE, EF, FG e GH com centros A, B, C e D,
respectivamente. Qual é a soma dos comprimentos desses arcos?​​

Answer 1

A soma dos comprimentos dos arcos é 5π cm.

• Observe que o primeiro arco de circunferência (DE) com centro em A, possui raio de 1 cm pois é igual ao lado do quadrado.
• O arco seguinte tem centro em B e raio BE, portanto seu comprimento é 2 cm.
• De forma análoga o raio seguinte tem comprimento 3 cm e o outro tem comprimento 4 cm.
• Cada arco equivale a um quarto do comprimento total de uma circunferência e o comprimento total dos arcos será a soma dos quatro arcos.

• O comprimento total de uma circunferência é obtido por:

C = 2π ⋅ R

onde:

C: comprimento total de uma circunferência

R: Raio da circunferência.

• O comprimento dos quatro arcos será portanto:

Considere:

$\large \sf C_t: comprimento \ total \ dos \ quatro \ arcos$

R₁ a R₄: Raio de cada arco.

$\large \sf C_t = \dfrac{1}{4} \left(\dfrac {}{}2 \pi \cdot R_1 + 2 \pi \cdot R_2 + 2 \pi \cdot R_3 + 2 \pi \cdot R_4 \right)$

• Pode-se colocar 2π em evidência.

$\large \sf C_t = \dfrac{2 \pi}{4} \left(\dfrac {}{} R_1 + R_2 + R_3 + R_4 \right)$  ⟹ Substitua as medidas dos raios.

$\large \sf C_t = \dfrac{2 \pi}{4} \left(\dfrac {}{} 1 + 2 + 3 + 4 \right)$

$\large \sf C_t = \dfrac{2 \pi}{4} \left(\dfrac {}{} 10 \right)$

$\Large \sf C_t = 5 \pi \ cm$

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