Question

A figura mostra um pessoa com massa de 60kg que desliza, sem atrito, do alto de um tobogã de 7,2m de altura (ponto A), acoplando-se a um carrinho com massa de 120kg, que se encontra em repouso no ponto B. A partir desse instante, a pessoa e o carrinho movem-se juntos na água, até parar. Considere que a força de atrito entre o carrinho e a água é constante, e o coeficiente de atrito dinâmico é 0,10. A aceleração gravitacional local é 10m/s2 . a) Calcule a velocidade do conjunto pessoa-carrinho, imediatamente após o acoplamento. b) Calcule a distância percorrida na água pelo conjunto pessoa-carrinho, até parar. site:br...com

Answer 1

Vamos lá...

Nomenclaturas:

Ec = energia cinética.
m = massa.
v = velocidade.
vf = velocidade final.
Ei = energia cinética inicial.
Ef = energia cinética final.
Epg = energia potencial gravitacional.
g = gravidade.
h = altura.
Qi = quantidade de movimento inicial.
Qf = quantidade de movimento final.
mp = massa da pessoa.
mc = massa do carrinho.
u = coeficiente de atrito.
N = normal.
Wfat = trabalho realizado pelo atrito.
d = distância.

Aplicação:

Observe que o exercício nos informa que a pessoa está em repouso ao alto de um tobogã e, após entrar em movimento a pessoa, no fim do trajeto, se acopla ao carrinho e se movem como um conjunto de massas, sabendo disso, podemos aplicar os conceitos de conservação de energia.

QUESTAO A.

$Ei = Ef. \\ Epg = Ec. \\ \\ m \times g \times h = \frac{m \times {v}^{2} }{2} \\ \\ g \times h = \frac{ {v}^{2} }{2} \\ \\ {v}^{2} = 2 \times g \times h. \\ v = \sqrt{2 \times g \times h} \\ v = \sqrt{2 \times 10 \times 7.2} \\ v = 12m/s.$

Agora que possuímos o valor da velocidade da pessoa, devemos aplicar a conservação da quantidade de movimento para encontrarmos o valor da velocidade do conjunto de massas após o acoplamento, veja:

$Qi = Qf. \\ mp \times vi = (mp + mc) \times vf. \\ \\ vf = \frac{mp \times vi}{mp + mc} \\ \\ vf = \frac{60 \times 12}{60 + 120} \\ \\ vf = \frac{720}{180} \\ \\ vf = 4m/s.$

Portanto, a velocidade do conjunto pessoa-carrinho equivale a 4m/s.

QUESTÃO B.

Perceba que existe atrito entre o conjunto de massas, pessoa-carrinho, com isso, podemos definir uma relação entre a energia cinética e o trabalho realizado ao longo do trajeto, siga:

$Ec = \frac{m \times {v}^{2} }{2} -Wfat. \\ \\ Wfat \: = \frac{(mp + mc) \times {vf}^{2} }{2} \\ \\ u \times N \times d = \frac{(mp + mc)}{2} \times {vf}^{2} \\ \\ d = \frac{(mp + mc)}{2 \times N \times u} \times {vf}^{2} \\ \\ d = \frac{(mp + mc)}{2 \times m \times g \times u} \times {vf}^{2} \\ \\ d = \frac{(mp + mc)}{2 \times (mp + mc) \times g \times u} \times {vf}^{2} \\ \\ d = \frac{(60 + 120)}{2 \times (60 + 120) \times 10 \times 0.1} \times {4}^{2} \\ \\ d = \frac{180 \times 16}{360} \\ \\ d = 8 \: metros.$

Portanto, o conjunto pessoa-carrinho vai percorrer 8 metros de distância.

Obs: resolvi a questão sem o auxílio da imagem, caso tenha omitido algo me avise, em caso de dúvidas pergunte.

Espero ter ajudado!

Answer 2

a) A velocidade do conjunto pessoa-carrinho, imediatamente após o acoplamento equivale a 4 m/s.

b) A distância percorrida na água pelo conjunto foi de 8 metros.

Pelo Princípio da Conservação da Energia Mecânica, desprezado o atrito no tobogã, podemos afirmar que a energia potencial gravitacional da pessoa no topo será igual a sua energia cinética no ponto mais baixo.

Epg = Ec

mgh = mV²/2

gh = V²/2

10. 7,2 = V²/2

V² = 144

V = 12 m/s

Essa é a velocidade da pessoa antes de ser acoplada ao carrinho.  Pelo Princípio da Conservação da Quantidade de movimento, sabemos que o momento linear total do sistema será constante.

Q antes = Qdepois

Q pessoa + Qcarrinho = Qconjunto

m.V + 0 = (m + M). Vf

60. 12 = (60 + 120). Vf

720 = 180Vf

Vf = 4 m/s

Para calcular a distância percorrida pelo conjunto em um trecho com atrito até que o conjunto pare (Vfinal = 0), devemos lembrar que a energia cinética será completamente dissipada pelo trabalho da força de atrito.

Ec = TFat

mVf²/2 = Fat. ΔS

mVf²/2 = μ. N. ΔS  (na horizontal N = Peso)

mVf²/2 = μ. mg. ΔS

Vf²/2 =  μ. g. ΔS

4²/2 =  0,10. 10. ΔS

8 = 1. ΔS

ΔS = 8 metros

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