Question

A figura apresenta uma parte de uma tabela na qual cada linha e cada coluna seguem de acordo com o padrão representado. Com relação a essa tabela de números: a) Escolha um quadrado 3 × 3 e, exibindo a soma de seus 9 números, verifique que o resultado é múltiplo de 9. b) Um quadrado com 16 números tem por soma de todos esses números o valor de 1.056 (mil e cinquenta e seis). Descubra o menor número desse quadrado. c) A soma de todos os números de um quadrado n×n , com menor número igual a 4, é de 108.000 (cento e oito mil). Qual é o valor de n ?

#FUVEST

Answer 1

a) Desenhamos um quadrado 3 x 3 (figura anexa), o resultado deve ser múltiplo de 9.  Então temos Z = 9. (X+8), múltiplo de 9.

Vamos chamar de Z a soma dos elementos do quadrado:

1ª fileira: x + x+ 1 + x+ 2 = 3x +3

2ª fileira: x+ 7 + x + 8 + x + 9 = 3x+24

3ª fileira: x + 14 +x + 15 + x +16 = 3x +45

Agora iremos resolver a soma:

Z = (3x +3) + (3x + 24) + (3x + 45)

Z= 9x + 72

Z = 9. (X + 8) múltiplo de 9.

b) Agora iremos desenhar um quadrado 4 x 4 (figura anexa). A soma será 1056, então o menor número será 56.

1 ª fileira: x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x + 6

2ª fileira: x +7 + x + 8 + x + 9 + x + 10 = 4x + 34

3ª fileira: x + 14 + x + 15 + x + 16 + x +17 = 4x + 62

4ª fileira: x + 21 + x + 22 + x +23 + x +24 = 4x + 90

(4x +6) + (4x +34) + (4x +62) + (4x + 90) = 1056

16x + 192 = 1056

16x = 1056 – 192

16x = 864

X= 864/16

X = 54

C) Agora iremos encontrar n com a tabela n x n (figura anexa).  O valor de n é 30.

1 passo observamos na n-ésima linha o primeiro número do elemento é:

4 + (n – 1) .7 = 4 + 7n -7 = 7 – n

2 passo na n-ásima linha o último número do elemento é:

7.n – 3 + n -1 = 8n – 4

A soma dos elementos n que iremos chamar de Sn será:

$Sn=\frac{7n-3+8n-4}{2} . n =\frac{15n - 7}{2} .n$

Segue a soma do S1 abaixo:

$S1 =\frac{4+n+3}{2} . n =\frac{n+7}{2} .n$

Iremos resolver a soma para encontrarmos o valor de n:

$S =\frac{\frac{n+7}{2}.n+\frac{15n-7}{2}.n }{2}$

$S =\frac{\frac{16n}{2} }{2} .n-4 n^{3}$

Temos então:

$4n^{3} =10800\\n^{3} = 27000 = 30$

temos n igual a 30.