Question

Um jogo educativo possui 16 peças nos formatos: círculo, triângulo, quadrado e estrela, e cada formato é apresentado em 4 cores: amarelo, branco, laranja e verde. Dois jogadores distribuem entre si quantidades iguais dessas peças, de forma aleatória. O conjunto de 8 peças que cada jogador recebe é chamado de coleção. a) Quantas são as possíveis coleções que um jogador pode receber? b) Qual é a probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas? c) A regra do jogo estabelece pontuações para as peças, da seguinte forma: círculo = 1 ponto, triângulo = 2 pontos, quadrado = 3 pontos e estrela = 4 pontos. Quantas são as possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais?

#FUVEST

Answer 1

a) 12870 coleções possíveis para cada jogador receber.

b) A probabilidade de que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas é 28/65.

c) 85 possíveis coleções que valem 26 pontos ou mais.

Explicação:

a) Das 16 peças, cada jogador recebe 8. Então, o número de possíveis coleções é dado por:

C16,8 =    16!    

           8!.(16 - 8)!

C16,8 = 16!  

            8!.8!

C16,8 = 16.15.14.13.12.11.10.9.8!

                        8!.8!

C16,8 = 16.15.14.13.12.11.10.9

                        8!

C16,8 = 518918400

                40320

C16,8 = 12870

b) A probabilidade de que os dois jogadores recebam  duas peças amarelas cada um é:

C4,2 x C12,6 =

    C16,8

 4!    x   12!       12 x 665280

2!.2!       6!6! =     2        720       =

        16!                  12870

       8!.8!

6 x 924 =

 12870    

5544 :  198 = 28

12870 : 198    65

c)  As coleções possíveis que somam 26 ou mais pontos são:

1. 4 estrelas e 4 quadrados (28 pontos):

C4,4 . C4,4 = 1

2. 4 estrelas, 3 quadrados e 1 triângulo (27 pontos):

C4,4 . C4,3 . C4,1 = 16

3. 4 estrelas, 3 quadrados e 1 círculo (26 pontos):

C4,4 . C4,3 . C4,1 = 16

4. 4 estrelas, 2 quadrados e 2 triângulos (26 pontos):

C4,4 . C4,2 . C4,2 = 36

5. 3 estrelas, 4 quadrados e 1 triângulo (26 pontos):

C4,3 . C4,4 . C4,1 = 16

Total: 1 + 16 + 16 + 36 + 16 = 85

Answer 2

Para as questões, temos que a) um jogador pode receber 12870 coleções diferentes de peças, b) a probabilidade de dois jogadores receberem a mesma quantidade de peças amarelas é de 43,07%, c) o número de coleções que resultam em 26 pontos ou mais é de 85 coleções.

Para resolvermos essa questão, devemos aprender o que é a combinação.

O que é a combinação?

Em análise combinatória, quando desejamos descobrir de quantas formas podemos agrupar p elementos de um conjunto com n elementos, independente da ordem que aparecem em cada um dos agrupamentos, devemos utilizar a fórmula da combinação.

Assim, foi informado que o jogo possui 16 peças, onde cada jogador recebe 8 dessas peças em uma partida.

a) Para descobrirmos quantas coleções um jogador pode receber, devemos realizar a combinação das 16 peças em agrupamentos com 8 elementos.

Utilizando a fórmula da combinação com n = 16 e p = 8, obtemos:

                                            $C^{16}_{8} = \frac{16!}{8!*(16-8)!} \\\\C^{16}_{8} = \frac{16!}{8!*8!!}\\\\C^{16}_{8} = \frac{16*15*14*13*12*11*10*9*8!}{8!*8!}\\\\C^{16}_{8} = \frac{16*15*14*13*12*11*10*9}{8*7*6*5*4*3*2*1}\\\\C^{16}_{8} = \frac{518918400}{40320}\\\\C^{16}_{8} = 12870$

Assim, descobrimos que um jogador pode receber 12870 coleções diferentes de peças.

b) Um jogador pode receber 0, 1, 2, 3 ou 4 peças amarelas.

Para que os dois jogadores recebam a mesma quantidade de peças amarelas, é necessário que esse número seja igual a 2, pois como existem 2 jogadores em uma partida, as cartas amarelas não recebidas por um jogador serão recebidas pelo outro.

Assim, devemos encontrar o número de combinações das 4 peças amarelas em um grupo com 2 peças, e multiplicar esse valor pelo número de combinações das 12 peças restantes em um grupo com 6 peças.

Após, devemos obter o número de combinações das 2 peças amarelas restantes em um grupo com 2 peças, e multiplicar esse valor pelo número de combinações das 6 peças restantes em um grupo com 6 peças.

Por fim, devemos multiplicar esses valores e dividir pelo número de combinações possíveis, que é 12870.

Realizando as combinações, obtemos $C^4_2 = 6$, $C^{12}_6 = 924$, $C^2_2 = 1$ e $C^6_6 =1$. Assim, a probabilidade de dois jogadores receberem a mesma quantidade de peças amarelas é de 6*924*1*1/12870 = 0,4307, ou 43,07%.

c) Para encontrarmos a quantidade de coleções que resultam em 26 ou mais pontos, devemos realizar a combinação das figuras de cada tipo e multiplicar as quantidades.

As combinações que resultam em 26 pontos ou mais são as seguintes:

• 28 pontos: 4 estrelas, 4 quadrados. $C^4_4 = 1$ * $C^4_4 = 1$ = 1 coleção;

• 27 pontos: 4 estrelas, 3 quadrados, 1 triângulo. $C^4_4 = 1$ * $C^4_3= 4$ * $C^4_1= 4$ = 16 coleções;

• 26 pontos: 4 estrelas, 3 quadrados, 1 círculo. $C^4_4 = 1$ * $C^4_3= 4$ * $C^4_1= 4$ = 16 coleções;

• 26 pontos: 4 estrelas, 2 quadrados, 2 triângulos. $C^4_4 = 1$ * $C^4_2= 6$ *  $C^4_2= 6$ = 36 coleções;

• 26 pontos: 3 estrelas, 4 quadrados, 1 triângulo. $C^4_4 = 1$ * $C^4_3= 4$ * $C^4_1= 4$ = 16 coleções.

Somando as quantidades, obtemos que o número de coleções que resultam em 26 pontos ou mais são 1 + 16 + 16 + 36 + 16 = 85 coleções.

Para aprender mais sobre a combinação, acesse:

brainly.com.br/tarefa/8541932

https://brainly.com.br/tarefa/28489417

https://brainly.com.br/tarefa/13214145