Question

A figura ao lado nos mostra um cubo de aresta igual a 2cm. Tomando-se como base o quadrado ABCD e como vértice o ponto V (centro da face A'B'C'D' do cubo), obtém-se uma pirâmide. Qual é a área total dessa pirâmide?

Answer 1

Utilizando lógica de construções geometricas em três dimensões, temos a área total desta piramide, 4+8√5 cm².

Explicação passo-a-passo:

Então temos um cubo de aresta 2 cm, logo, a altura deste cubo também é de 2 cm.

Se pegarmos uma piramide que utiliza a mesma base que o cubo que tinhamos antes, e cujo vertice é o centro do teto do cubo que tinhamos antes, então a altura desta piramide, também é 2 cm.

E sabemos que esta piramide possui quatro faces laterais, onde o ponto mais alto liga com o centro da base da piramide pela altura 2cm, e o centro da base lita ao centro da lateral da piramide pela distancia de 1 cm, pois é metade do lado, assim utilizando teorema de pitagoras, podemos encontrar a altura da lateral da piramide:

$h^2=2^2+1^2=4+1=5$

$h=\sqrt{5}$

Agora que sabemos a altura lateral, podemos encontrar a área de uma das laterais, pois a área de um triangulo é o comprimento da base, que neste caso é 2 cm, vezes a altura que neste caso é √5 cm, então:

$A_l=2.\sqrt{5}$

$A_l=2\sqrt{5}$

Agora que temos a altura de um dos lados, basta multiplicar por 4, que teremos a altura lateral completa, pois esta piramide possui 4 laterais:

$A_L=4.2\sqrt{5}$

$A_L=8\sqrt{5}$

Agora que já temos a área lateral, basta somar com a área da base, que é um quadrado de lado 2:

$A_B=2.2=4$

Logo a área total é:

$A_T=A_L+A_B$

$A_T=8\sqrt{5}+4$

E assim temos a área total desta piramide, 4+8√5 cm².