Question

A figura ao lado mostra uma haste curva feita de alguma material isolante elétrico, eletricamente carregada com uma densidade linear de carga igual a 15.10^-9c/m, uniformemente distribuídos ao longo do seu comprimento. A haste tem um formado de um arco de circunferência de 100° de extensão e raio 30 cm. Os eixos de coordenadas são escolhidos de tal forma que o eixo de simetria da haste é o próprio eixo x e, a origem P do sistema está no centro de curvatura do arco. Qual é o campo elétrico E, produzido pela haste no ponto P?

Answer 1

Fazendo a integral do campo eletríco, temos que este campo eletríco é de 689,44 N/C, apotando na direção x negativa.

Explicação:

Esta é uma questão simples, que basta integrar o campo eletríco ao longo do fio:

$E=k.\int\frac{dq}{r^2}$

Onde k é a constante de Coulomb.

Podemos ainda escrever dq como a densidade linear vezes o comprimento infinitesimal:

$E=k.\int\frac{dq}{r^2}$

$E=k.\int\frac{\lambda.dl}{r^2}$

$E=k.\lambda.\int\frac{dl}{r^2}$

E o comprimento infinitesimal por sua vez podemos escrever em função do angulo infinitesimal:

$E=k.\lambda.\int\frac{dl}{r^2}$

$E=k.\lambda.\int\frac{r.d\theta}{r^2}$

$E=k.\lambda.\int\frac{d\theta}{r}$

E agora note que campo eletrico é uma função vetorial, então teriamos que integrar em x e y as direções, porém por simetria sabemos que os componentes em y irão se anular, sobrando somente em x, e para projetarmos nosso campo em x, basta multiplicarmos pelo cosseno do angulo, assim teremos somente a integral do componente x:

$E_x=k.\lambda.\int\frac{cos(\theta)d\theta}{r}$

$E_x=\frac{k.\lambda}{r}.\int_{-50}^{50} cos(\theta)d\theta$

Como cosseno é uma função par, podemos integrar só de 0 a 50, e multiplicar o resultado por 2:

$E_x=\frac{k.\lambda}{r}.\int_{-50}^{50} cos(\theta)d\theta$

$E_x=\frac{2k.\lambda}{r}.\int_{0}^{50} cos(\theta)d\theta$

Fazendo esta integral:

$E_x=\frac{2k.\lambda}{r}.\int_{0}^{50} cos(\theta)d\theta$

$E_x=\frac{2k.\lambda}{r}.[sen(\theta)]_{0}^{50}$

$E_x=\frac{2k.\lambda}{r}.sen(50)$

Substituindo valores:

$E_x=\frac{2k.\lambda}{r}.sen(50)$

$E_x=\frac{2.9.10^{9}.15.10^{-9}}{0,3}.sen(50)$

$E_x=900.sen(50)$

$E_x=900.0,76$

$E_x=689,44$

Assim este campo eletríco é de 689,44 N/C, apotando na direção x negativa.