Question

A figura abaixo representa uma sequência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e a altura do perímetro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda para direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem formando progressões aritméticas de razões A e B, respectivamente. Calcule as razões das progressões aritméticas.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Srtwalker, como foi a nossa resolução.

Veja que a resolução é simples, embora um pouco trabalhosa.

i) Tem-se que o primeiro retângulo tem base igual a "1" e altura igual a "9".
Então vamos, primeiro, calcular as bases dos demais retângulos, a partir da base do primeiro , que já sabemos que mede 1cm e que as bases dos restantes crescerão a uma razão igual a "a". Assim, teremos:

1ª base = 1
2ª base: 1+a
3ª base: 1+2a
4ª base: 1+3a
5ª base: 1+4a
6ª base: 1+5a.

ii) Já sabemos que cada figura tem perímetro igual. Note que o perímetro do quadrado (que é a última figura e cuja base mede "1+5a" terá os seus 4 lados iguais. Então cada um dos 4 lados do quadrado medirá "1+5a", cujo perímetro, quando calculado, será igual ao perímetro da primeira figura da qual já conhecemos as medidas, que são: base igual a 1cm e altura igual a 9cm. Assim, medindo o perímetro de cada uma dessas duas figuras (da 1ª e da última), teremos isto:

para o quadrado: 4*(1+5a) = 4+20a <---- Este será o perímetro do quadrado.

para a primeira figura, temos: 2*1+2*9 = 2+18 = 20cm.

Como os perímetros das figuras sempre serão iguais, então vamos igualá-los. Logo:

4 + 20a = 20 ----- passando "4" para o 2º membro, temos;
20a = 20-4
20a = 16
a = 16/4 -------- simplificando-se tudo por "4", ficaremos com:
a = 4/5 cm  <---- Este é o valor da razão "a".

iii) Agora note: se, no quadrado, temos que a = 4/5 cm, então o perímetro do quadrado terá a seguinte  medida (substituindo-se “a” por “4/5”):

4*(1+5a) = 4*(1+5*4/5) = 4*(1+4) = 4*5 = 20cm <---- Este é o perímetro do quadrado, significando dizer que cada lado do quadrado medirá:

20cm/4 = 5cm <---- Esta é a medida do lado do quadrado.

iv) Agora vamos para a altura da primeira figura que mede 9cm. Note que, na altura vão diminuindo de figura para figura.E, se a razão é "b", então teremos o seguinte comportamento para as alturas:

- 1ª altura = 9
- 2ª altura = 9-b
- 3ª altura = 9-2b
- 4ª altura = 9-3b
- 5ª altura = 9-4b
- 6ª altura = 9-5b.

Note que a 6ª altura é a do quadrado, cujos lados são iguais. Então o perímetro do quadrado será 4 vezes "9-5b". E como já sabemos que o quadrado tem perímetro igual a 20cm (pois já vimos isso quando estávamos trabalhando com a base), então teremos que:

4*(9-5b) = 20
36-20b = 20
- 20b = 20-36
-20b = -16 --- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficamos:
20b = 16
b = 16/20 ---- simplificando-se tudo por "4", teremos:
b = 4/5 cm <--- Este é o valor da razão "b".

v) Assim, ambas as razões "a' e "b" têm valor idêntico, ou seja:

a = b = 4/5 cm <--- Esta é a resposta. 

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.