Question

A figura abaixo é o gráfico do trinômio do 2o grau. Determine o trinômio.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Patrícia, que: conforme a "foto" anexada, temos uma equação do 2º grau da forma f(x) = ax² + bx + c, com um valor máximo da função no ponto (2; 3), ou seja, o ponto que dá as coordenadas do vértice (xv; yv) é o ponto (2; 3).
Tem-se também que uma das raízes da equação é "-1" (ou seja, é x' = - 1). A outra raiz não foi dada.
Mas com essas informações dará pra encontrar qual é a equação que tem o gráfico representado na "foto" anexada.

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se uma raiz da equação dada é igual a "-1", então quando substituirmos o "x" ~por "-1" na função dada [f(x) = ax² + bx + c] deveremos igualar f(x) a zero, pois toda raiz zera a função da qual ela é raiz.
Assim, teremos:

a*(-1)² + b*(-1) + c = 0 ----- como (-1)² = 1, teremos:
a*(1) + b*(-1) + c = 0 ---- desenvolvendo, ficaremos com:
a - b + c = 0 ----- isolando "a", teremos:
a = b - c    . (I)

ii) Como o vértice é o ponto de máximo (2; 3), então vamos ver qual é a fórmula que dá tanto o "x" do vértice (xv) como o "y" do vértice (yv).
Assim teremos:

ii.1)

xv = -b/2a ------ como o "x" do vértice é igual a "2", teremos:
2 = -b/2a ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
2a*2 = -b
4a = - b ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
- 4a = b ---- vamos apenas inverter, ficando:
b = - 4a      . (II)

Mas veja que, conforme a expressão (I), temos que:

a = b - c ----- substituindo-se "b" por "-4a", conforme vimos na expressão (II) acima, teremos:

a = -4a - c ---- passando "-4a" para o 1º membro, teremos:
a + 4a = - c
5a = - c ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
- 5a = c ---- vamos apenas inverter, ficando:
c = - 5a   . (III)

ii.2) Agora vamos para o "y" do vértice (yv), cuja fórmula é esta:

yv = - (b² - 4ac)/4a ---- substituindo-se "yv" por "3, teremos:
3 = - (b² - 4ac)/4a ------ multiplicando-se em cruz, teremos:
4a*3 = - (b² - 4ac)
12a = - (b² - 4ac) ---- vamos apenas inverter, ficando:
- (b² - 4ac) = 12a ------ mas "b" = - 4a e c = - 5a, conforme vimos nas expressões (II) e (III), respectivamente. Então vamos substituir "b" e "c" por esses valores,com o que ficaremos assim:

- ((-4a)² - 4a*(-5a)) = 12a
- (16a² + 20a²) = 12a
- (36a²) = 12a ---- retirando-se os parênteses, teremos:
- 36a² = 12a ----- se dividirmos ambos os membros por "12a" ficaremos apenas com:

- 3a = 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
3a = - 1
a = - 1/3 <---- Este será o valor do termo "a" da função f(x) = ax² + bx + c.

iii) Agora vamos para as expressões (II) e (III) e, nelas, vamos substituir "a' por "-1/3" para encontrarmos os valores dos termos "b" e "c". Assim teremos:

iii.1) Pela expressão (II), temos que:

b = - 4a ----- substituindo-se "a" por "-1/3", teremos:
b = -4*(-1/3)
b = 4/3 <--- Este é o valor do termo "b" da função f(x) = ax² + bx + c

iii.2) Pela expressão (III), temos que:

c = - 5a ---- substituindo-se "a" por "-1/3", teremos
c = -5(-1/3)
c = 5/3 <--- Este é o valor do termo "c" da função f(x) = ax² + bx + c.

iv) Dessa forma, a função f(x) = ax² + bx + c será esta, após substituirmos "a" por "-1/3"; "b" por "4/3" e "c" por "5/3":

f(x) = (-1/3)*x² + (4/3)*x + 5/3 --- ou, o que é a mesma coisa:

f(x) = - x²/3 + 4x/3 + 5/3  <--- Pronto. Esta é a resposta. Esta é a equação procurada.
 
É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.