Question

A figura abaixo apresenta um esquema de alguns trajetos retilíneos que servem de opções de percurso para uma ambulância que, partindo do local de um acidente ocorrido no ponto A, deve seguir em direção a um hospital localizado no ponto H.

 

considerando  que a  ambulância leva 12  minutos para  percorrer 18 km do trajeto AH , rodando á velocidade  media  v, então , mantida  esta velocidade , se  o motorista optasse  pelo  trajeto AB +BH, quando  tempo  a ambulancia  gastaria  para  percorrê - lo?
 
 dado :√3=1,7.

Answer 1

Temos que, $A\hat{B}H=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

Assim, $H\hat{A}B=180^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ}=30^{\circ}$.

Logo, o triângulo $AHB$ é isósceles de base $AH$.

Deste modo, $AB=BH$.

Pela Lei dos Senos, temos que:

$\dfrac{a}{\text{sen}~\hat{A}}=\dfrac{b}{\text{sen}~\hat{B}}=\dfrac{c}{\text{sen}~\hat{C}}$.

Assim, $\dfrac{AH}{\text{sen}~120^{\circ}}=\dfrac{AB}{\text{sen}~30^{\circ}}$

Como $AH=18$, $\text{sen}~120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\text{sen}~30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, segue que:

$\dfrac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{AB}{\frac{1}{2}}$

$\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{18}{2}$

Assim, $AB\sqrt{3}=18$ e obtemos $AB=\dfrac{18}{\sqrt{3}}$.

Racionalizando, temos $AB=\dfrac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$.

Logo, $AB=BH=6\sqrt{3}$ e $AB+BH=2\cdpt6\sqrt{3}=12\sqrt{3}~\text{km}$.

Pelo enunciado, a ambulância gasta $12~\text{min}$ para percorrer $18~\text{km}$.

Assim, podemos montar uma regra de três inversamente proporcional, chamando o tempo procurado de $t$, temos:

$\dfrac{12}{t}=\dfrac{12\sqrt{3}}{18}$.

Note que, as grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais, pois quanto maior a velocidade, menor o tempo.

Temos, $t(12\sqrt{3})=12\cdot18=216$ e obtemos $t=\dfrac{216}{12\sqrt{3}}=\dfrac{18}{\sqrt{3}}$

Como $\sqrt{3}=1,7$ (dado), temos $t=\dfrac{18}{1,7}\approx10,59~\text{min}$

Portanto, o tempo gasto pela ambulância será de, aproximadamente $10,59~\text{min}$.

(Aproximadamente $10$ minutos e $35$ segundos.)