Question

A figura a seguir representa a construção de um triângulo limitado pela função () = −² + 6 − 5 e o eixo x do gráfico. Nessa construção, o vértice A do triângulo coincide com o ponto máximo da função () e o vértice C toca o eixo x em uma das raízes reais dessa função. Calcule a área do triângulo.

Answer 1

Resposta:

4 u.a

Explicação passo-a-passo:

OBS: Olhei a questão original e a função dada no exercício é f(x)= -x²+6x-5

1 Passo - encontrar as raízes da função usando Bháskara

-x²+6x-5=0

Δ= b²-4.a.c

Δ= 6²-4.(-1).(-5)

Δ= 36-20

Δ= 16

x=  – b ± √Δ / 2·a

x= -6 ± √16 / 2.(-1)

x= -6 ± 4 / -2

Primeira Raiz :

x' = -6 + 4 / -2

x'= -2 / -2

x'= 1

Segunda Raiz:

x''= -6 - 4 / -2

x"= -10 / -2

x"= 5

Sabemos que as raizes são 1 e 5. Agora determinamos o valor do ponto B. Como ele é o ponto médio entre 1 e 5, o ponto B terá o valor 3.

2 Passo - Determinar o valor do ponto máximo A, para podermos determinar a altura do triângulo. Para isso utilizaremos a fórmula das coordenadas do vértice de uma parábola. Como já sabemos que o Xvertice = 3, resta apenas encontrar o Yvertice

Yvertice = - Δ / 4.a

Yvertice = - 16 / 4.(-1)

Yvertice = - 16 / -4

Yvertice = 4

3 Passo - Para saber o valor da base do triângulo basta calcular a distância entre os pontos C e B, ou seja, a distância entre 1 e 3 = 2(esse é o valor da base). Agora temos todos os valores necessários para calcularmos a área do triângulo utilizando a fórmula:

Área = base.altura / 2

Área = 2.4 / 2

Área = 4 unidades de medida = 4 u.a.

A alternativa correspondente na prova original é a letra B

Answer 2

A área do triângulo é 4 u.a.

Vamos calcular as raízes da função f(x) = -x² + 6x - 5 pela fórmula de Bhaskara. Dito isso, temos que:

Δ = 6² - 4.(-1).(-5)

Δ = 36 - 20

Δ = 16

$x=\frac{-6\pm\sqrt{16}}{2.(-1)}\\x=\frac{-6\pm4}{-2}\\x'=\frac{-6+4}{-2}=1\\x''=\frac{-6-4}{-2}=5$.

Isso significa que o ponto C é C(1,0). Já a abscissa do ponto B é igual a média entre 1 e 5, ou seja, $\frac{1+5}{2}=3$. Assim, B(3,0).

Substituindo x = 3 na função f, obtemos:

f(3) = -(3)² + 6.3 - 5

f(3) = -9 + 18 - 5

f(3) = 4.

Então, o ponto A é A(3,4).

Veja que o triângulo possui base 3 - 1 = 2 u.c. e altura 4 u.c. A área de um triângulo é igual a metade do produto da base pela altura. Portanto:

$S=\frac{2.4}{2}$

S = 4 u.a.