Question

A figura a seguir possui dois ângulos retos e, em termos de comprimentos, AB =6, CD =3 e AC =15. Qual é o comprimento do segmento BD?

Answer 1

[Observe a figura anexa para melhor entendimento]
Nesta figura observe o triângulo retângulo ACE destacado em azul.
Este triângulo tem um cateto EC de medida 6 + 3 = 9 e tem hipotenusa  de medida 15.
Pelo Teorema de Pitágoras, ou outro cateto AE, tem medida igual a: $\sqrt{15^2-9^2} = \sqrt{225-81} = \sqrt{144} =12$
Logo, o segmento BD, é igual ao segmento AE, que mede 12.
 

Answer 2

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Observe a figura em anexo.

Os triângulos ABO e CDO são semelhantes pois dois dois de seus ângulos internos são congruentes.


Então os lados correspondentes são proporcionais:

$\mathsf{\dfrac{med(\overline{AB})}{med(\overline{AO})}=\dfrac{med(\overline{CD})}{med(\overline{CO})}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{6}{15-x}=\dfrac{3}{x}}\\\\\\ \mathsf{6x=3\cdot (15-x)}\\\\ \mathsf{6x=45-3x}$

$\mathsf{6x+3x=45}\\\\ \mathsf{9x=45}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{45}{9}}\\\\\\ \mathsf{x=5}\qquad\quad\checkmark$


Ainda usando a semelhança e proporções.

$\mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{med(\overline{AO})}{med(\overline{OC})}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{15-x}{x}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{15-5}{5}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=\dfrac{10}{5}}$

$\mathsf{\dfrac{med(\overline{BO})}{med(\overline{OD})}=2}\\\\\\ \mathsf{med(\overline{BO})=2\cdot med(\overline{OD})\qquad\quad(i)}$


Aplicando Teorema de Pitágoras ao triângulo CDO, temos

$\mathsf{med(\overline{CD})^2+med(\overline{OD})^2=med(\overline{OC})^2}\\\\ \mathsf{3^2+med(\overline{OD})^2=x^2}\\\\ \mathsf{3^2+med(\overline{OD})^2=5^2}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})^2=5^2-3^2}$

$\mathsf{med(\overline{OD})^2=25-9}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})^2=16}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})=\sqrt{16}}\\\\ \mathsf{med(\overline{OD})=4}\qquad\quad\checkmark$


Substituindo em $\mathsf{(i)},$ encontramos

$\mathsf{med(\overline{BO})=2\cdot 4}\\\\ \mathsf{med(\overline{BO})=8}\qquad\quad\checkmark$


Por fim, temos que a medida do segmento $\mathsf{\overline{BD}}$ é

$\mathsf{med(\overline{BD})=med(\overline{BO})+med(\overline{OD})}\\\\ \mathsf{med(\overline{BD})=8+4}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{med(\overline{BD})=12} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$