Question

a figura a seguir mostra um retângulo abcd decomposto em dois quadrados e um retângulo menor bcfe. quando bcfe é semelhante a abcd dizemos que abcd é um retângulo de prata e a razão ab/ad é chamada razão de prata. qual é o valor da razão de prata nesse caso

Answer 1

Resposta:

Letra

$1 + \sqrt{2}$

c

Answer 2

O valor da razão de prata nesse caso é C) 1 + √2.

Essa questão é sobre a razão entre dois valores.

Vamos chamar a medida do lado do quadrado de x e a medida do lado AB do retângulo de y, portanto, temos o segmento AE mede 2x, logo:

AB = AE + EB

y = 2x + EB

EB = y - 2x

A razão de prata será dada por AB/AD, onde AB = y e AD = x, então:

AB/AD = y/x

Como o retângulo BCFE é semelhante a ABCD, a razão entre seus lados também é igual a razão de prata:

CB/EB = y/x

x/(y - 2x) = y/x

x² = y(y - 2x)

x² = y² - 2xy

y² - 2xy - x² = 0

Temos uma equação quadrada em y, então os coeficientes são a = 1, b = -2x e c = -x². Pela fórmula de Bhaskara:

Δ = b² - 4ac

Δ = (-2x)² - 4·1·(-x²)

Δ = 4x² + 4x²

Δ = 8x²

y = [-(-2x) ± √8x²]/2

y = [2x ± 2x√2]/2

y' = x + x√2 = x(1 + √2)

y'' = x - x√2 = x(1 - √2)

Como y'' é negativo, o valor válido é y = x(1 + √2). A razão de prata é:

y/x = x(1 + √2)/x = 1 + √2

Resposta: C

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