Question

A figura a seguir é formada por 6 círculos de raio
1 cm, tangentes entre si. Então, pode-se afirmar que
a área da parte hachurada na figura é, em cm2, igual

Answer 1

Olá!

Resposta:

$4\sqrt{3} -2\pi$ é a área em $cm^2$ das áreas hachuradas.

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vou unir os raios dos círculos para formar triangulo equiláteros (veja na imagem anexada).

Sabemos a área do triangulo equilátero, e ela vale $A_t=\frac{\sqrt{3} L^2 }{4}$ ($L$ é seu lado). Sabemos também a área de um circulo de 60º, que vale $A=\frac{\theta . \pi . r^2}{360}$ ($\theta$ é o ângulo do setor circular em graus e $r$ é o raio).

Primeiro, a área do triangulo na imagem vale $A_t=\frac{\sqrt{3}. 2^2}{4} \Rightarrow A_t=\sqrt{3}$ (I)

A área dos setor circular vale $A=(\frac{60.\pi.1^2}{360})$ isso para um setor, mas são três (veja a imagem), assim: $A=3.(\frac{60.\pi.1^2}{360}) \Rightarrow A=\frac{\pi}{2}$ (II)

Subtraindo (I) de (II) dará a área de 1 das 4 áreas hachuradas que é:

$A_{parcial}=A_t-A \Rightarrow \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$

Mas como na figura pede todas as áreas hachuradas temos:

$A_{total}=4.A_{parcial} \Rightarrow A_{total}=4(\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}) \Rightarrow A_{total}= 4\sqrt{3} -2\pi$

Então $4\sqrt{3} -2\pi$ é a área em $cm^2$ das áreas hachuradas.