Question

A figura a seguir apresenta três círculos de raios diferentes, limitados por circunferências tangentes duas a duas.
Sabendo que os lados do triangulo, cujos vértices são os centros desses círculos, medem 9cm, 10cm e 11cm, pode-se concluir que o comprimento da maior circunferência e a área do menor circulo valem, respectivamente.
a) 6π cm, 16π cm²
b) 6π cm, 8π cm²
c) 10π cm, 8π cm²
d) 12π cm, 16π cm²
e) 12π cm, 8π cm²

Answer 1

Resposta:

d)

Explicação passo-a-passo:

Chamemos de "a" o raio do maior círculo, "b" o raio do segundo menor e "c" o raio do menor, temos que 11cm, por ser o maior dos lados, tem como raio a + b; 10cm, por ser o segundo maior, equivale a a + c; por fim, seguindo a mesma lógica, 9cm vale b + c. Organizando:

a + b = 11. Eq.1

a + c = 10. Eq.2

b + c = 9. Eq. 3

Eq.1 - Eq.2 -> b - c = 1

b - c = 1. Eq.4

b + c = 9. Eq.3

Eq.4 + Eq.3 -> 2b =10 <-> b = 5

Eq.1 -> a + 5 = 11 <-> a = 6

Eq.2 -> 6 + c = 10 <-> c = 4

A circunferência de um círculo calcula-se com a fórmula :

$2\pi \times r$

Então o comprimento da maior circunferência é :

$2\pi \times a = 2\pi \times 6 = \: 12\pi$

A área de um círculo é calculada pela fórmula:

$\pi \times {r}^{2}$

Então a área do menor círculo vale :

$\pi \times {c}^{2} = \pi \times {4}^{2} = \pi \times 16 = 16\pi$

RESPOSTA: d)