Question

a expressão y^3 + 3y^2 + 3y + 1 é equivalente a

Answer 1

Perceba que se y1 = - 1:

$(- 1)^{3} + 3.(-1)^{2} + 3.(-1) + 1 = - 1 + 3 - 3 + 1 = 0$

Ou seja, - 1 é a nossa raiz. Usando Briot Ruffini:

- 1 |  1  | 3  |  3  |   1

      1  |  2 |   1  |  0

$x^{2} + 2x + 1 = 0$

Essa equação, com raízes equivalentes vai nos fornecer uma expressão equivalente através das raízes.

Por soma e produto,

S =  x1 + x2 = - 2

P = x1 · x2 = 1

x1 = - 1 e x2 = -1 ou seja, uma única raiz.

Portanto,

$y^{3} + 3y^{2} + 3y + 1 = (y - y1).(y - x1).(y - x2) = ( y - (- 1)). (y - (-1)).(y - (- 1)) = (y + 1)^{3}$