Question

A expressão v(t) =600·2^2t/3 , relaciona o valor v em reais, que uma mercadoria terá t anos após sua aquisição. Qual o tempo necessário para que o valor do objeto seja de R$60000,00? (Use log2=0,3)

Answer 1

A formula é: $v(t)=600*2^{\frac{2t}{3}}$

Pede "t" quando v(t)=60000,00.

Resolução:
$v(t)=600*2^{\frac{2t}{3}} \\ \\ 60000=600*2^{\frac{2t}{3}} \\ \\ \frac{60000}{600} =2^{\frac{2t}{3}} \\ \\ 100 = 2^{\frac{2t}{3}}$

Usemos a definição de logaritmo:
$a^{x}=b$⇔$log_{a}b=x$

Então:
$100 = 2^{\frac{2t}{3}}$⇔$log_{2}100 = \frac{2t}{3}$

Vamos fazer uma mudança de base, da base 2 para a base 10:
$log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$

$log_{2}100 =\frac{log_{10}100}{log_{10}2}$;

sendo:
$log_{10}100 = 2 \\ \\ pois \\ \\ 10^{2}=100 \\ \\ log_{10}2=0,3$

Então:
$\frac{log_{10}100}{log_{10}2}=\frac{2t}{3} \\ \\ \frac{2}{0,3}= \frac{2t}{3} \\ \\ 3* \frac{2}{0,3}= 2t \\ \\ 6= \frac{3}{10}*2t \\ \\ 6*10 = 6t \\ \\ t=10anos$