Question

A expressão trigonométrica cos² x − sen² y é equivalente a
(Escolha a opção correta)


A) sen(x + y) ⋅ cos(x − y)
B) cos(x + y) ⋅ sen(x − y)
C) cos(x + y) ⋅ cos(x − y)
D) sen(x + y) ⋅ sen(x − y)


Favor apresentar a explicação e os desenvolvimentos detalhadamente, passo-a-passo. Obrigado! :)

Answer 1

Resposta:

  C)  cos(x + y).cos(x - y)

Explicação passo-a-passo:

. A expressão:  cos² x  -  sen² y  

. cos (x + y) . cos (x - y)  =

(cosx.cosy-senx.seny).(cos x.cosy+senx.seny) =

cos²x.cos²y + cosx.cosy.senx.seny - senx.seny.

cosx.cosy - sen²x.sen²y  =

. cos² x . cos² y  -  sen²x.sen² y  =

. cos² x . ( 1 - sen² y) - (1 - cos² x) . sen² y  =

. cos² x - cos² x.sen² y - sen² y + cos²x.sen² y  =

. cos² x  -  sen² y

(Obs: as demais identidades foram testadas.

Este foi o "caminho" que segui. Fique à vontade

para discordar. Disponha . )

Answer 2

Resposta: $cos(x+y)cos(x-y)$

Explicação passo-a-passo:

Antes de transformar a expressão trigonométrica proposta em uma outra equivalente (no conjunto dos números reais, pois a validade das identidades trigonométricas que usarei limitam-se aos números reais), listarei algumas identidades trigonométricas notáveis e também uma algébrica (muito conhecida). Assim sendo, as identidades são dadas por:

$a^2 -b^2\ =\ (a+b)(a-b)$, ∀ $a,b$ ∈ C (Complexos)  (i)

$sen(x)+sen(y)\ =\ 2sen(\frac{x+y}{2})cos(\frac{x-y}{2})$, ∀ $x,y$ ∈ R (Reais)  (ii)

$sen(x)-sen(y)\ =\ 2sen(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})$, ∀ $x,y$ ∈ R (Reais)  (iii)

$sen(x)\ =\ 2sen(\frac{x}{2})cos(\frac{x}{2})$, ∀ $x$ ∈ R (Reais)  (iv)

$sen(x)\ =\ cos(\frac{\pi}{2}-x)$, ∀ $x$ ∈ R (Reais)  (v)

$cos(x)\ =\ sen(\frac{\pi}{2}-x)$, ∀ $x$ ∈ R (Reais)  (vi)

Com isso, vamos à expressão trigonométrica equivalente:

$cos^2(x) - sen^2(y)\ =\ [cos(x)+sen(y)][cos(x)-sen(y)]$  ⇔

$cos^2(x) - sen^2(y)\ =\ [sen(\frac{\pi}{2} -x)+sen(y)][sen(\frac{\pi}{2}-x)-sen(y)]$  ⇔

$cos^2(x)-sen^2(y)\ =\ 2sen[\frac{(\frac{\pi}{2} -x+y)}{2}]cos[\frac{(\frac{\pi}{2}-x-y)}{2}]2sen[\frac{(\frac{\pi}{2} -x-y)}{2}]cos[\frac{(\frac{\pi}{2}-x+y)}{2}]$  ⇔

$cos^2(x)-sen^2(y)\ =\ 2sen[\frac{(\frac{\pi}{2} -x+y)}{2}]cos[\frac{(\frac{\pi}{2}-x+y)}{2}]2sen[\frac{(\frac{\pi}{2} -x-y)}{2}]cos[\frac{(\frac{\pi}{2}-x-y)}{2}]$  ⇔

$cos^2(x)-sen^2(y)\ =\ sen(\frac{\pi}{2}-x+y)sen(\frac{\pi}{2}-x-y)$  ⇔

$cos^2(x)-sen^2(y)\ =\ sen[\frac{\pi}{2}-(x-y)]sen[\frac{\pi}{2}-(x+y)]$  ⇔

$cos^2(x)-sen^2(y)\ =\ cos(x-y)cos(x+y)\ =\ cos(x+y)cos(x-y)$

Abraços!!