Question

A expressão sen²7a-sen²3a é igual a:

a) sen10a.cos4a
b) sen²4a
c) sen10a.sen4a
d) sen²2a

Answer 1

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Identidades utilizadas:

•   Fórmulas de prostaférese (transformação de soma em produto):
    
    (diferença entre senos e soma entre senos)

    $\mathsf{sen(p)-sen(q)=2\,sen\!\left(\frac{p-q}{2}\right)cos\!\left(\frac{p+q}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{sen(p)+sen(q)=2\,sen\!\left(\frac{p+q}{2}\right)cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)}$


•   Fórmulas de arco duplo:

    (o seno do arco duplo)
      
    $\mathsf{2\,sen(p)\,cos(p)=sen(2p)}$

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$\mathsf{sen^2(7a)-sen^2(3a)}\\\\ =\mathsf{\big[sen(7a)-sen (3a)\big]\cdot\big[sen(7a)+sen(3a)\big]}\\\\ =\mathsf{\left[2\,sen\!\left(\frac{7a-3a}{2}\right)cos\!\left(\frac{7a+3a}{2}\right) \right ]\cdot \left[2\,sen\!\left(\frac{7a+3a}{2}\right)cos\!\left(\frac{7a-3a}{2}\right) \right ]}\\\\\\ =\mathsf{\left[2\,sen\!\left(\frac{4a}{2}\right)cos\!\left(\frac{10a}{2}\right) \right ]\cdot \left[2\,sen\!\left(\frac{10a}{2}\right)cos\!\left(\frac{4a}{2}\right) \right ]}$

$=\mathsf{\big[2\,sen(2a)\,cos(5a) \big]\cdot \big[2\,sen(5a)\,cos(2a) \big]}\\\\ =\mathsf{2\,sen(5a)\,cos(5a)\cdot 2\,sen(2a)\,cos(2a)}\\\\ =\mathsf{sen(10a)\cdot sen(4a)}$


$\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{sen^2(7a)-sen^2(3a)=sen(10a)\cdot sen(4a)} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


Resposta:  alternativa c) sen 10a · sen 4a.


Bons estudos! :-)


Tags:   transformação trigonométrica soma produto prostaférese arco duplo dobro trigonometria