Question

A expressão M=C(1+i)n nos permite calcular o montante M, resultante da aplicação do capital C a juros compostos, à taxa anual i, ao completar um período de n anos. Nessas condições, se o capital de R$ 7.000,00 for aplicado a juros compostos e à taxa anual de 10%, após quanto tempo (em anos) da aplicação o montante atingirá o valor de R$ 24.500,00?

Dados: log2≈0,301, log3≈0,477, log5≈0,699, log7≈0,845 e log11≈1,04.

Observação. Escreva a resposta como um número decimal com precisão de 0,01.

Answer 1

Resposta:

Olá boa tarde!

Dados:

C = 7.000

i = 10% a.a = 10/100 = 0,1

M = 24.500

t = ?

Aplicando na expressão do montante:

$M = C(1+i)^t$

$24.500 = 7.000 (1 + 0,1)^t\\\\24.500 : 7.000 = (1,1)^t\\\\(1,1)^t = 3,5$

Pelas propriedades dos logaritmos:

$Log\ a^b = b.Log\ a$

Aplicando logaritmo em ambos os membros:

$Log\ (1,1)^t = log\ 3,5$

$t.Log\ 1,1 = Log\ 3,5$

Agora observe: trabalhando no primeiro membro da equação:

Log 11 = 1,04

Log 10 = 1

Pela propriedade dos logaritmos:

$\frac{Log_a b}{Log_a c} = Log_a\ b - Log_a\ c$

Então:

Log 1,1 = Log (11 / 10) = Log 11 - Log 10 = 1,04 - 1,00 = 0,04

Log 3,5 = Log (7 / 2) = Log 7 - Log 2 = 0,845 - 0,301 = 0,544

Então:

0,04t = 0,544

t = 0,544 / 0,04

t = 13,60

A aplicação o montante atingirá o valor de R$ 24.500,00 em aproximadamente 13 anos e meio aproximadamente.