Question

A expressão (2x³+3x²+x)/(x^4+x)
x ≠ 0
x ≠ -1
na sua forma mais simples é igual a?


Resposta: (2x + 1)/(x² - x + 1)


explicação, por gentileza...

Answer 1

Bom, para simplificar, você precisa fatorar o numerador e o denominador. Vamos começar pelo numerador:
Para fatorar, o negócio é você identificar alguma raiz da equação. Então por exemplo, temos 2x³ + 3x² + x, já de cara sabemos que 0 é uma raiz, basta substituir o x por 0 que você vê que a expressão se iguala a 0. Então podemos colocar o x 'em evidência':

2x³ + 3x² + x = x(2x² + 3x + 1)
Só que ainda temos uma equação do segundo grau. Vamos achar as raízes dela para poder escrevê-la como um produto delas:
2x² + 3x + 1 => delta: b² - 4ac = 9 - 4.2.1 = 9 - 8 = 1
x' = (-3 + 1)/4 = -2/4 = -1/2
x'' = (-3 - 1)/4 = -4/4 = -1
Lembrando que você deve mudar o sinal das raízes na hora da fatoração, então: 2x² + 3x + 1 = (x + 1/2)(x + 1)
Então, a expressão toda fica:
2x³ + 3x² + x = x(x + 1/2)(x+1). Numerador ok. Agora vamos fazer o processo análogo para o denominador:

x^4 + x = colocando o x em evidência: x(x³ + 1)
Ainda temos terceiro grau, vamos reduzir achando as raízes:
x³ + 1 = 0 => x³ = -1 => x = -1
Agora podemos escrever x³+ 1 como (x+1) vezes alguma coisa. Temos que dividir o x³ + 1 por x+1 pra ver qual vai ser a outra parcela:

x³ + 1            | x + 1
                     | x²
-x³ - x²
-x² + 1           | - x
+ x² + x
x + 1             | 1
Logo, a divisão de x³+1 por x+1 é igual a x² - x + 1. Assim, podemos escrever x³ + 1 como (x+1)(x² - x + 1).
Por enquanto nossa expressão está:
x^4 + x = x(x³ + 1) = x(x+1)(x² - x + 1)
Vamos continuar vendo se é possível fatorar, já que ainda temos uma equação do segundo grau:
x²- x + 1: delta: b² - 4ac = 1 - 4.1.1 = 1 - 4 = -3. Opa, o delta é negativo, então as raízes dessa equação não são reais, portanto, não tem mais como fatorar ela. Chegamos ao máximo da fatoração do denominador. 

Agora, finalmente temos o numerador e o denominador fatorado:

2x³+3x²+x/x^4+x = x(x + 1/2)(x+1)/x(x+1)(x² - x + 1)
Bom, como temos tudo em produto, agora podemos simplificar os termos iguais. Cancela os x e os (x+1) em cima e embaixo, e ficamos com:
(x + 1/2)/x² - x + 1
Que é equivalente à expressão que você apresentou na resposta, só deixei com o termo fracionário mesmo.