Question

A expressão (2 tg x) / (1 + tg²x) é idêntica a:
a) tg 2x    c) 2 sen x
b) cos 2x d) cos 2 x
                e) cos x . sen x

Answer 1

Use a definição de tangente para manipular a expressão:

     $\dfrac{2\,\mathrm{tg\,}x}{1+\mathrm{tg^2\,}x}\\\\\\ =\dfrac{2\cdot \frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}}{1+\left(\frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\right)^{\!2}}\\\\\\ =\dfrac{2\cdot \frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}}{1+\frac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}}$


Como condição de existência para a tangente de  x,  que aparece na expressão, devemos ter  cos x  diferente de zero.

Multiplicando o numerador e o denominador por  cos² x,  a expressão fica

     $=\dfrac{2\cdot \frac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}}{1+\frac{\mathrm{sen^2\,}x}{\cos^2 x}}\cdot \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}\\\\\\ =\dfrac{2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x}{\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x}\\\\\\ =\dfrac{2\cdot \mathrm{sen\,}x\cdot \cos x}{1}$

     $=\mathrm{sen\,}2x$    <————    esta é a resposta.


     Nenhuma das alternativas apresentadas está correta.

Answer 2

Resposta:

c] 2senx

Explicação passo-a-passo:

$\frac{2tangx}{1+tang^{2}x } = \frac{2tangx}{sec^{2}x } = 2senx.cosx= sen2x$