Question

A equação z^3 - 1 = 0 possui três soluções distintas, sendo uma delas o número 1 e as outras duas os números complexos v = x + yi e w = p + qi. Considerando o polinômio P(z) = z^3 - 1, o valor de P(v + w) é igual a

Alternativas

A) 0.

B) 1.

C) -1.

D) -2.

Answer 1

Resposta:

D)

Explicação passo a passo:

como sabemos que z = 1 é solução da função P(z) = z^3 - 1 temos que dividir z^3 - 1 por z - 1:

$\frac{z^3 - 1}{z - 1}$

z^3   -  1     |    z - 1

z^3 - z^2        z^2 + z + 1

-------------

z^2  - 1

z^2 - z

---------------

z    -   1

z    -    1

----------------

0

então dessa forma temos que as outras duas raizes sao as raizes da equação z^2 + z + 1 = 0

Δ = b^2 - 4ac

Δ = 1 - 4*1*1

Δ = -3

z = (-b ±$\sqrt{\Delta}$ )/2*a

z = -1 ± $\sqrt{3}$ / 2

assim temos que v = -1/2 + $\sqrt{3}$/2 e w = -1/2 - $\sqrt{3}$/2

e o valor de P(v + w) é

P(-1/2 + $\sqrt{3}$/2  -1/2 - $\sqrt{3}$/2)

P(-1/2 -1/2)

P(-1) = (-1)^3 -1 = -1 - 1 = -2

Answer 2

Resposta:

a

Explicação passo a passo:

z³ - 1 = 0

z³ =1

z = ρcisθ

z³ = ρ³cis3θ

1 = cis(0)

ρ³cis3θ = 1

ρ³cis3θ = 1cis(0)

ρ³ = 1 ---> ρ = 1

3θ = 0 + kπ

θ = kπ/3

Para k = 0, temos cis0 = 1(cos0 + isen0) = 1

Para k = 1, temos cis(π/3) = 1(cos(π/3) + isen(π/3) = (1/2 + i√3/2)

Para k = 2, temos cis(2π/3) = 1(cos(2π/3) + isen(2π/3) = (-1/2 + i√3/2)

z1 = 1

z2 = (1/2 + i√3/2)

z3 = (-1/2 + i√3/2)

v + w = 1/2 + i√3/2 – ((-1/2 + i√3/2))  

v + w =1/2 + i√3/2 +1/2 - i√3/2  

v + w =1/2 + 1/2

v + w = 1

P(z) = z³ - 1

P(v + w) = 1³ - 1 = 0