Question

A equação x³− 8x²+ ax + b = 0, na qual a e b são números reais, tem uma raiz igual a 2 + 5i.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor de b.
a) b = −116
b) b = −29
c) b = 4
d) b = 8
Coloquem a resolução por favor

Answer 1

Relações de Girard.

Tendo um polinômio de 3°grau do tipo :

$a.x^3 + b.x^2 +c.x + d = 0$

temos uma relação entre as raízes, que é a seguinte :

1ª ) $r_{1}+r_{2} +r_{3} = -\frac{b}{a}$

2ª) $r_{1}.r_{2} + r_{1}.r_{3} + r_{2}.r_{3} = \frac{c}{a}$

3ª) $r_1.r_2.r_3 = -\frac{d}{a}$

Sendo um polinômio do 3°grau, onde uma raiz é complexa, o conjugado dessa raiz complexa também é raiz do polinômio.

A questão diz uma raiz complexa vale $2+5i$ logo o conjugado dela também é uma raiz, ou seja, $2-5i$ é raiz.

Nosso polinômio:

$x^3 - 8x^2 + ax + b = 0$

$a = 1$, $b = -8$, $c = a$, $d = b$

Sabemos duas raízes

$r_1 = 2+5.i$ e $r_2 = 2-5i$

Vamos usar a 1ª das relações de girard pra encontrar a 3ª raiz

$r_{1}+r_{2} +r_{3} = -\frac{b}{a}$

$2+5.i + 2-5.i + r_3 = -\frac{-8}{1}$

$4 + r_3 = 8$

$r_3 = 4$

Agora vamos usar a 3ª para encontrar alguma relção com o b.

$r_1.r_2.r_3 = -\frac{d}{a}$

$(2+5.i).(2-5.i).(4) = -\frac{b}{1}$ ,

$[4 -(5.i)^2].4 = -b$

$[4 -(-25)].4 = -b$

$29.4 = -b$

$116 = -b$

$b = -116$

Observações

Sabendo que se num polinômio uma das raízes é complexa o conjugado dela também é raiz, então vc ja teria duas raízes ( $r_1$ e $r_2$ )

aí vc poderia substituir x = $r_1$ e igualar a zero e depois substituir x =  $r_2$ e igualar a 0. Dessa forma você cairia num sistema com as incógnitas a e b, e aí vc só precisaria resolver o sistema.