A equacao x^3 +mx^2+2x+n=0 em que m e n sao numeros reais ,admite l+i como raiz quais os valotes de m e n?
Soluções para a tarefa
Resposta:
A equação x3 + mx2 + 2x + n, em que m e n são números reais, admite 1 + i (sendo i é a unidade imaginária) como raiz. Então m e n valem respectivamente: 2 e 2. 2 e 0.
Explicação passo a passo:
Utilizando as propriedades dos números complexos e analisando a equação dada, temos que, m = -2 e n = 0.
Números complexos
A questão proposta afirma que o número complexo 1 + i é uma raiz da equação cúbica dada, portanto, substituindo x por 1 + i a igualdade é verdadeira:
(1 + i)³ + m*(1 + i)² + 2*(1 + i) + n = 0
(1 + i)*(1 + 2i - 1) + m*(1 + 2i - 1) + 2 + 2i + n = 0
2i*(1 + i) + 2mi + 2 + 2i + n = 0
2i - 2 + 2mi + 2 + 2i + n = 0
(4 + 2m)*i + n = 0
Como m é um número real, temos que, 4 + 2m é um número real. A questão também afirma que n é real, portanto, para que o número complexo que aparece do lado esquerdo da igualdade seja igual a 0, devemos ter que a sua parte real e a sua parte imaginária são ambas iguais a zero, ou seja:
4 + 2m = 0
n = 0
m = -2
n = 0
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