Question

a equação trigonométrica 2+cos(x)=2tg(x/2) tem como solução?

Answer 1

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Resolver a equação trigonométrica:

$\mathsf{2+cos\,x=2\,tg\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\qquad\quad(i)}$


Primeiramente, vamos expressar $\mathsf{cos\,x}$ em termos de $\mathsf{tg\!\left(\dfrac{x}{2}\right):}$

$\mathsf{cos\,x=cos^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)-sen^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)-sen^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{1}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)-sen^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)+sen^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}}$

$=\mathsf{\dfrac{cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left[1-\frac{sen^2\left(\frac{x}{2}\right)}{cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \right ]}{cos^2\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot \left[1+\frac{sen^2\left(\frac{x}{2}\right)}{cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \right ]}}\\\\\\\\ \therefore~~\mathsf{cos\,x=\dfrac{1-tg^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}\qquad\quad\checkmark}$


e a equação $\mathsf{(i)}$ fica

$\mathsf{2+\dfrac{1-tg^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}=2\,tg\!\left(\dfrac{x}{2}\right)}$


Faça a seguinte substituição:

$\mathsf{tg\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=t\qquad\quad(t\in\mathbb{R})}$


e a equação fica

$\mathsf{2+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=2t}\\\\\\ \mathsf{2\cdot (1+t^2)+1-t^2=2t\cdot (1+t^2)}\\\\ \mathsf{2+2t^2+1-t^2=2t+2t^3}\\\\ \mathsf{0=2t+2t^3-2-2t^2-1+t^2}\\\\ \mathsf{0=2t^3-2t^2+t^2+2t-2-1}$

$\mathsf{2t^3-t^2+2t-3=0}$


Agora temos uma equação polinomial de grau 3 completa. Pesquisando as raízes, vemos que

$\mathsf{t=1}$

é raiz. Logo, podemos fatorar o lado esquerdo por $\mathsf{(t-1).}$


Fatorando, a equação fica

$\mathsf{2t^3-2t^2+2t^2-t^2+2t-3=0}\\\\ \mathsf{2t^3-2t^2+t^2+2t-3=0}\\\\ \mathsf{2t^2(t-1)+t^2+2t-3=0}\\\\ \mathsf{2t^2(t-1)+t^2-t+t+2t-3=0}\\\\ \mathsf{2t^2(t-1)+t^2-t+3t-3=0}\\\\ \mathsf{2t^2(t-1)+t(t-1)+3t-3=0}$

$\mathsf{2t^2(t-1)+t(t-1)+3(t-1)=0}\\\\ \mathsf{(t-1)(2t^2+t+3)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t-1=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2t^2+t+3=0}\\\\ \mathsf{t=1}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{2t^2+t+3=0} \end{array}$


A segunda equação acima é do 2º grau. Calculando do discriminante $\mathsf{\Delta:}$

$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot 3}\\\\ \mathsf{\Delta=1-24}\\\\ \mathsf{\Delta=-23<0}$


Como o discriminante é negativo, o fator quadrático não tem solução. Portanto a única raiz para a equação em $\mathsf{t}$ é

$\mathsf{t=1}$


Voltando à variável $\mathsf{x:}$

$\mathsf{tg\!\left(\dfrac{x}{2}\right)=1}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi}\\\\\\ \mathsf{x=2\cdot \left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{x=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot 2\pi} \end{array}}$


onde $\mathsf{k}$ é um inteiro.


Bons estudos! :-)


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