Question

A equação quadrática x2 + 1 = 0 não pode ser solucionada com números reais, já que não existe um número real que satisfaça a seguinte igualdade:
x2 = –1.
Dessa forma, introduz-se uma unidade imaginária i para preencher esta lacuna matemática:
i2 = –1.
Neste contexto, assinale a alternativa que indica o valor correto da expressão:
1 + i1 + i2 + i3 + i4 + ... + i65 + i66 + i67

Answer 1

Como fica evidenciado no texto, estaremos trabalhando com números complexos na questão e, sendo assim, convém lembrarmos do seguinte "ciclo":

$\left\{\begin{array}{ccc}i^1&=&i\\i^2&=&-1\\i^3&=&-i\\i^4&=&1\end{array}\right$

Esta sequencia, após o expoente 4, começa a se repetir, ou seja, i⁵=i¹, i⁶=i²...

Dito isso, vamos analisar a expressão dada.

Note pela expressão que estamos somando vários termos de uma sequencia, mas não qualquer tipo de sequencia, estamos somando termos de uma PG finita.

Note que cada termo na sequencia é formado pelo anterior multiplicado por i, a unidade imaginaria, ou seja, a razão (q) da PG vale i.

Nessa PG, a razão vale i, o 1° termo é 1 e o ultimo, i⁶⁷.

Não sabemos a posição "n" do numero i⁶⁷, logo vamos utilizar a equação do termo geral da PG:

$a_n~=~a_1~.~q^{n-1}\\\\\\i^{67}~=~1~.~i^{n-1}\\\\\\i\!\!\backslash^{67}~=~i\!\!\backslash^{n-1}\\\\\\67~=~n-1\\\\\\\boxed{n~=~68}$

Como a expressão dada é a soma dos termos, vamos utilizar a equação da soma de termos da PG finita:

$S_n~=~\dfrac{a_1~.~\left(q^n-1\right)}{q-1}\\\\\\\\S_{68}~=~\dfrac{1~.~\left(i^{68}-1\right)}{i-1}\\\\\\\\S_{68}~=~\dfrac{\left(i^{4~.~17}-1\right)}{i-1}\\\\\\\\S_{68}~=~\dfrac{\left(\left(i^4\right)^{17}-1\right)}{i-1}\\\\\\\\S_{68}~=~\dfrac{\left((1)^{17}-1\right)}{i-1}\\\\\\\\S_{68}~=~\dfrac{\left(1-1\right)}{i-1}\\\\\\\\S_{68}~=~\dfrac{0}{i-1}\\\\\\\\\boxed{S_{68}~=~0}$

Resposta: O valor da expressão é 0.