Question

A equação log (x +2) + log (x - 1) = 1:

A) tem duas raízes opostas.
B) tem uma única raiz irracional.
C) tem uma única raiz menor que 3.
D) tem uma única raiz maior que 7.
E) tem conjunto solução vazio.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cardoso, que a resolução desta questão parece simples. Resolvemos outras questões suas muito mais "embaraçosas" do que esta. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver a seguinte equação logarítmica:

log₁₀ (x+2) + log₁₀ (x-1) = 1

ii) Antes de mais nada vamos encontrar as condições de existência da expressão acima. Como só existem logaritmos de números positivos, então vamos impor que cada um dos logarimandos "x+2" e "x-1" sejam positivos (>0). Assim, teremos:

x + 2 > 0

x > -2 ----- esta é uma condição de existência.

e

x - 1 > 0

x > 1 ----- esta é outra condição de existência.

Agora note: entre "x" ser maior do que "-2" e ser também maior do que "1", então vai prevalecer a segunda hipótese, pois sendo "x" maior do que "1" já o será maior do que "-2", concorda? Assim, a única condição de existência será esta:

x > 1 ------ esta será a única condição de existência que deveremos observar no desenvolvimento da sua expressão inicial que é a que vamos iniciar o seu desenvolvimento no item "iii" seguinte.

iii) A expressão que vamos iniciar o desenvolvimento é esta:

log₁₀ (x+2) + log₁₀ (x-1) = 1 ----- vamos transformar a soma em produto. Com isso ficaremos assim:

log₁₀ [(x+2)*(x-1)] = 1 ------ desenvolvendo o produto indicado, teremos:

log₁₀ (x²+x-2) = 1 ----- aplicando-se a definição de logaritmo veja que o que temos aqui é a mesma coisa que:

10¹ = x² + x - 2 ---- ou apenas:

10 = x² + x - 2 ----- passando "10" para o 2º membro e invertendo-se a igualdade, teremos:

x² + x - 2 - 10 = 0 ----- desenvolvendo, teremos:

x² + x - 12 = 0 ----- note que se aplicarmos Bháskara iremos encontrar as seguintes raízes:

x' = - 4 <--- raiz INVÁLIDA pois não atende à condição de existência

x'' = 3 <--- raiz VÁLIDA pois atende à condição de existência.

Assim, o conjuntos-solução será:

x = 3 ---- Esta é a resposta.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x} da seguinte forma o que dá no mesmo:

S = {3}.

Assim, como você viu, a raiz x = 3 é VÁLIDA e verificando as opções dadas não encontramos nenhuma que se enquadre com a resolução que encontramos, pois:

a) tem duas raízes opostas: não é verdade. Para serem opostas deveríamos ter uma raiz positiva e outra negativa mas com o mesmo módulo. E, no caso, encontramos uma única raiz válida, que é x = 3.

b) Tem uma única raiz irracional: não é verdade. Note que a raiz encontrada (x = 3) não é um número irracional.

c) Tem uma única raiz menor que "3". Não é verdade. Note que a única raiz válida é exatamente igual a "3" (e não menor que "3').

d) Tem uma única raiz maior que "7". Não é verdade. Note que "3" não é maior do que "7".

e) Tem conjunto-solução vazio. Não é verdade. Veja que encontramos que x = 3. Logo, o conjunto não é vazio.

Por isso, pedimos que você reveja as opções dadas e depois nos diga alguma coisa, ok?

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.