Question

a equação do 2° grau ax²+bx-3=0 tem -1 como uma de suas raízes. Sabendo que os coeficientes A e B são números primos positivos, podemos afirmar que a²+b² é igual a:

A)29
B)89
C)17
D)13
E)53​

Answer 1

Alternativa A: podemos afirmar que a²+b² é igual a 29.

Inicialmente, vamos utilizar a informação fornecida sobre uma das raízes e substituir seu valor na equação. Deste modo, vamos encontrar uma relação entre as incógnitas "a" e "b". Substituindo x = -1, obtemos:

$a(-1)^2+b(-1)-3=0\\ \\ a-b-3=0\\ \\ \boxed{a-b=3}$

Desta relação podemos concluir que a diferença entre os dois números primos é igual a três. Agora, vamos analisar os números primos existentes, que são aqueles apenas divisíveis por 1 e ele próprio. Eles são:

$Primos: \ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,...$

Note que essa diferença só ocorre entre os números 2 e 5, pois o dois é o único número primo par. Deste modo, a diferença entre os outros números sempre será par, pois eles são todos ímpares.

Com isso, concluímos que os números "a" e "b" são, respectivamente, 5 e 2. Por fim, basta calcular o resultado da expressão desejada. Portanto:

$a^2+b^2=5^2+2^2=25+4=29$