Question

a equação ax +by+cz+d = 0 e chamada de equação geral do plano, e dada esta equação e facil recuperarmos um vetor normal ao plano.encontre a equação geral do plano com equação vetorial P= (0,1,2) +(3,1,2)t+(1,2,1)s

Answer 1

o valor de p equatorial corresponde a 6+34⁴x y²

Answer 2

A equação geral do plano é 3x + y - 5z + 9 = 0

Equação do plano:

Um plano pode ser descrito de várias maneiras:

• Equação Vetorial: A partir de um ponto Q e dois vetores v e u, escrevemos a equação como
  
  P = Q + tv + su,
  
  onde t e s são números reais;
• Equação geral: É descrita a partir das suas coordenadas cartesianas x, y e z:
  
  P: ax +by+cz+d = 0.

Podemos transformar uma equação vetorial em equação geral achando o determinante e igualando a zero:

$\left[\begin{array}{ccc}x-q_1&y-q_2&z-q_3\\v_1&v_2&v_3\\u_1&u_1&u_3\end{array}\right]$,

onde Q=(q₁,q₂,q₃), v=(v₁,v₂,v₃), u=(u₁,u₂,u₃)

Determinante da matriz 3x3

Encontramos o determinante da matriz 3x3 copiando suas duas primeiras colunas após a terceira e calculando as "diagonais" formadas, as principais sem trocar o sinal e as secundárias, trocando.

$\left[\begin{array}{ccc}x-0&y-1&z-2\\3&1&2\\1&2&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x-0&y-1\\3&1\\1&2\end{array}\right] = \\\\\\x \cdot 1 \cdot 1 + (y-1)\cdot 2\cdot 1+(z-2)\cdot3\cdot2 - (z-2)\cdot1\cdot1-x\cdot2\cdot2-(y-1)\cdot3\cdot1 =\\\\x + 2y - 2 + 6z-12-z+2-4x-3y+3 = \\\\-3x-y+5z-9=0$

Podemos ainda multiplicar toda a equação por -1 por questão estética:

3x + y - 5z + 9 = 0

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