Question

A equação ax^2+ bx+c=0 com a ≠ 0 e escrita na sua forma mais simplificada, apresenta 4 + √3 como uma das raízes. Sendo assim, a expressão a + b + c tem para valor:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8

Answer 1

 Olá Felipe, bom dia!

As raízes de uma equação do segundo grau são obtidas através da fórmula $x' = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ e $x'' = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.

 Pelo formato da raiz dada no enunciado, pode concluir que a outra raiz será $x''=4-\sqrt{3}$

 Ora, a soma das raízes será 8 e o produto 13, veja:

Soma:

$x' + x'' = 4 + \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} \\ x' + x'' = 8$

Produto:

$x' \cdot x'' = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) \\ x' \cdot x'' = 16 - 3 \\ x' \cdot x'' = 13$ 

 Com efeito, $- \frac{b}{a} = 8$ e $\frac{c}{a} = 13$. Por conseguinte, $\boxed{b = - 8a}$ e $\boxed{c=13a}$

 Por fim,

$a + b + c = \\ a + (- 8a) + 13a = \\ 14a - 8a = \\ \boxed{\boxed{6a}}$

 Concluímos que o resultado da soma é número múltiplo de 6, e das opções vemos que o item c é o único que corresponde à condição!