Question

A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0 representa, no plano cartesiano, uma elipse. A área do retângulo circunscrito a essa elipse é :

Answer 1

9x² + 4y² - 18x - 27 = 0
observe que os lados do retangulo são tangentes à elipse.  O comprimento do retângulo equivale ao eixo maior ("2a") e a altura, ao menor ("2b"). Achando e multiplicando os eixos da elipse, temos a área do retângulo.
Equação Geral da elipse, com semi-eixos a,b e foco em (xo,yo) :

(x-xo)² / a² + (y-yo)² / b² - 1 = 0
desenvolvendo,
(x²/a² - 2xo.x/a² + xo²/a²) + (y²/b² - 2yo.y/b² - yo/b²) - 1 = 0
completando a elipse da questão com os membros que faltam :
(9x²  - 18x + xo²/a²) + (4y² -  0.2yo.y/b² - yo/b²) - 1 = 0
igualando os termos :
x² / a² = 9x²
a² = 1/9 ==> a = 1/3

y²/b² = 4y²
b² = 1/4 ==> b = 1/2

Área do retângulo : 2a * 2b
= 2/3 * 2.2 = 2/3 (resp)
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