Question

A equação -3x+2x+m=0, em que m é uma constante real, qdimte duas raízes reais cuja diferença é -1/3.

A) obtenha as raízes da equação

B) determine o valor de m​

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações algébricas.

Dada uma equação algébrica da forma $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_0=0$, foi demonstrado por Gauss como Teorema fundamental da álgebra que esta equação apresenta $n$ raízes.

Isto serve para denotar o erro nos dados da questão: a equação é $-3x^2+2x+m=0$.

Esta é uma equação quadrática da forma $ax^2+bx+c=0$.

Então, ao dividirmos ambos os lados da equação pelo coeficiente dominante $a$, em que $a\neq0$, temos:

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

De acordo com as Relações de Girard, podemos reescrever a equação da seguinte forma:

$x^2-Sx+P=0$, em que $S=-\dfrac{b}{a}$ é a soma das raízes da equação e $P=\dfrac{c}{a}$ é o produto entre as raízes.

Fazemos isso com nossa equação: divida ambos os lados da equação por $(-3)$

$x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{m}{3}=0$

Nos foi dito que esta equação admite duas raízes reais, as quais consideraremos sendo $x_1$ e $x_2$, cuja diferença entre elas é igual a $-\dfrac{1}{3}$

Assim, temos que: $x_1-x_2=-\dfrac{1}{3}$

Utilizando a relação de Girard, facilmente observa-se que: $x_1+x_2=\dfrac{2}{3}$

Logo, temos o sistema:

$\begin{cases}x_1-x_2=-\dfrac{1}{3}\\\\ x_1+x_2=\dfrac{2}{3}\\\end{cases}$

Somamos as equações

$2x_1=\dfrac{1}{3}$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x_1=\dfrac{1}{6}$

Substituindo este resultado em qualquer uma das duas equações, temos:

$\dfrac{1}{6}+x_2=\dfrac{2}{3}$

Subtraia $\dfrac{1}{6}$ em ambos os lados da equação

$x_2=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}\\\\\\ x_2=\dfrac{1}{2}$

Dessa forma, as duas raízes dessa equação são: $x_1=\dfrac{1}{6}~~\bold{e}~~x_2=\dfrac{1}{2}$

Para determinarmos o valor de $m$, utilizamos novamente a relação de Girard:

O produto entre as raízes é igual a $-\dfrac{m}{3}$

Assim, teremos:

$-\dfrac{m}{3}=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{2}$

Multiplique as frações

$-\dfrac{m}{3}=\dfrac{1}{12}$

Multiplique ambos os lados da equação por $(-3)$

$m=(-3)\cdot\dfrac{1}{12}\\\\\\ m=-\dfrac{1}{4}$

Estas são as respostas para as alternativas desta questão.