Question

A entrada de um tubo foi construída em formato parabólico com 12 m de largura e seis metros de altura maxima, sendo destinados 1,8 m de cada lado para a passagem de pedestres. Nesse túnel somente poderão trafegar veículos 0,5 m mais baixos que a menor altura do túnel que se pode trafegar. Qual é a altura maxima de um veículo para trafegar nesse túnel ?

Answer 1

A entrada do tubo consistirá de uma parábola com concavidade para baixo.

Vamos assumir que a parábola é simétrica com relação à origem, ou seja as coordenadas do vértice serão: (0; 6). Como a largura total é 12m, podemos assumir que a parábola toque o eixo das abscissas nos pontos (-6;0) e (6;0).
Assim podemos escrever nossa função que rege a parábola como:
y = a(x - 6)(x + 6)

Substituindo o ponto correspondente ao vértice: 6 = a.(6).(-6)
a = -1/6
Logo, $y=\frac{-(x-6)(x+6)}{6}$.

Como devemos deixar um espaço de 1,8 de cada canto, os veículos só poderão passar entre os pontos (-4,2;0) e (4,2; 0).
Nesses pontos a altura da parábola será a menor possível. Assim teremos:
$y = \frac{(-1,8)(10,2)}{6}=3,06$

Como o veículo tem que ter altura máxima igual a 0,5m menor que a altura mínima do túnel teremos:
$y_{veiculo} = 3,06 - 0,5 = 2,56m$