Question

A energia nuclear, derivada de isótopos radioativos, pode ser usada em veículos espaciais para fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser descrito pela função exponencial

$\large\text{ P=p_0\cdot e^{-\frac{T}{250} } }$

na qual P é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de um veículo espacial ;$P_0$ é a potência inicial do veículo; T é o intervalo de tempo em dias, a partir de $T_0=0$. Nessas condições, quantos dias são necessários, aproximadamente, para que a potência de um veículo espacial reduza à quarta parte da potência inicial?

Dado: $Ln(2)=0{,}693$

Answer 1

Usando as propriedades de Logaritmos Neperianos, podemos concluir que são necessários 346 dias aproximadamente

$\large\boxed{346~Dias}$

Mas como chegamos nessa resposta?

Temos a seguinte equação

$\large\text{ P=P_0\cdot e^{-\frac{T}{250} } }$

É nos dito que  P é a quarta parte de $P_0$. Ou seja

$P= \dfrac{P_0}{4}$

Então podemos reescrever nossa equação da seguinte forma

$\large\text{ P=P_0\cdot e^{-\frac{T}{250} } }\\\\\\\large\text{ \dfrac{P_0}{4} =P_0\cdot e^{-\frac{T}{250} } }\\\\\\\large\text{ \dfrac{P_0}{4}\div P_0= e^{-\frac{T}{250} } }$

$\large\text{ \boxed{\dfrac{1}{4}= e^{-\frac{T}{250} }} }$

Perceba que temos uma equação com Euler e queremos encontrar o T. então vamos usar os Logaritmos Neperianos. Mas, antes disso vamos relembrar algumas propriedades

$\boxed{A=B\Rightarrow Ln(A)=Ln(B)}$

$\boxed{Ln(A^B)=B\cdot Ln(A)}$

$\boxed{Ln(e)=1}$

$\boxed{Ln\left(\dfrac{A}{B}\right)=Ln(A)-Ln(B) )}$

Com isso em mente vamos resolver a questão

$\large\text{ \dfrac{1}{4}= e^{-\frac{T}{250} } }\\\\\\\large\text{ Ln\left(\dfrac{1}{4}\right)= Ln\left(e^{-\frac{T}{250}\right) } }\\\\\\\\\largeLn\left(1\right)-Ln(4)= -\frac{T}{250}\cdot Ln\left(e\right)$

$\large0-Ln(2^2)= -\frac{T}{250}\cdot 1$

$\large-2\cdot Ln(2)= -\frac{T}{250}$

$\large-2\cdot 0{,}693= -\frac{T}{250}\\\\\large-2\cdot 0{,}693\cdot 250= -T\\\\\large-346{,}5= -T\\\\\large346{,}5= T$

Ou seja vai levar 346,5 dias para que a potência de um veículo espacial reduza à quarta parte da potência inicial, então podemos aproximar esse valor para 346 dias

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