Question

(a) Encontre quatro soluções para a equação: cos x = tan x?

(b) Se f(x) = 3x + 1, quanto vale f^−1(2)?

Answer 1

Resposta:

a) 38,1727º, 141,8273º, 398,1727º, 501,8273º

b) 1/3

Explicação passo-a-passo:

a) Para resolver essa questão, vamos utilizar relações trigonométricas e substituir os termos da igualdade. Primeiramente, vamos escrever a tangente como razão entre seno e cosseno.

$cos(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)} \\ \\ cos^2(x)=sen(x)$

Agora, vamos substituir o cos²(x) por 1 - sen²(x), uma vez que: sen²(x)+cos²(x)=1.

$cos^2(x)=sen(x)\\ \\ 1-sen^2(x)=sen(x)\\ \\ sen^2(x)+sen(x)-1=0$

Note que formamos uma equação de segundo grau. Para resolvê-la, vamos substituir o valor de sen²(x) por X.

$x^2+x-1=0\\ \\ \Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5\\ \\ x'=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\ \\ x''=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Note que, o segundo valor não irá pertencer ao seno, pois não está no intervalo de 1 a -1. Com isso, podemos concluir que:

$sen(x)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\\ \\\x=38,1727\º \\ x=141,8273\º$

Assim, esses dois ângulos satisfazem a condição inicial. Para determinar mais duas soluções, basta adicionar 360º em cada um dos casos.

b) Primeiramente, devemos calcular a inversa dessa função. Para isso, vamos isolar X e depois substituir X por Y.

$y=3x+1\\ \\ x=\frac{y-1}{3} \\ \\ \boxed{y=\frac{x-1}{3}}$

Agora, basta substituir o valor de x=2 na função inversa.

$f^{-1}(2)=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$