Question

A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funcionário em uma viagem para encontrar um cliente, para agilizar a aprovação de alguns contratos pendentes. O funcionário deve embarcar para encontrar o cliente na semana que começa no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que começa no dia 8 e termina no dia 14.

Chamaremos de possível viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v os critérios acima. Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 é uma possível viagem, ida em 3 e volta em 9 é outra possível viagem. Ida em 1 e volta em 6 não é uma possível viagem, pois a volta não está na semana de 8 a 14.

O número de diárias de uma possível viagem é a diferença entre as datas de ida e volta, isto é, v-i, onde i é a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a possível viagem que começa no dia 2 e termina no dia 11 tem 11 - 2 = 9 diárias.

(a) Explique como e por que uma possível viagem pode ser representada por um par ordenado.

(b) Denote por I o conjunto de datas possíveis para a ida do funcionário e por R o conjunto das datas possíveis para sua volta. Represente os conjuntos I e R, enumerando seus elementos.

(c) De acordo com sua resposta ao item (a) e utilizando os conjuntos I e R, descritos no item (b), determine como representar o conjunto V de todas as possíveis viagens, sem ter que listar todos os seus elementos.

(d) Como o funcionário terá muito trabalho em sua ida ao cliente, uma possível viagem é considerada proveitosa se tiver a duração de, no mínimo, 9 diárias. Se P é o conjunto de todas as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que P \subset V.

(e) Represente o conjunto P enumerando seus elementos.

O preço da passagem de ida no dia i é representado por p(i). Assim, p(2) é, por exemplo, o preço da passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o preço da passagem de volta no dia v é representado por p'(v). Assim, p'(10) é o preço da passagem de volta no dia 10. Os preços das passagens, para cada dia, são dados abaixo:

Viagem de ida:

Dia da ida 1 2 3 4 5 6 7
Preço em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00

Viagem de volta:

Dia da volta 8 9 10 11 12 13 14
Preço em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00

Como exemplo, temos p(3) = 1000,00 e p'(12) =800,00.

O custo de uma possível viagem é dado pela soma dos preços das passagens de ida e de volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada diária.

Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo

p(3) + p'(12)+(12 - 3) \times 300,00 = 1000,00 + 800,00 + 9 \times 300,00 = 4.500,00.

Note que 12 - 3 é o número de diárias.

O custo-benefício de uma possível viagem é obtido dividindo o custo pelo número de diárias. Assim, a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benefício igual a 4500,00 / 9 = 500,00.

Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma possível viagem é considerada viável, se o custo benefício for menor que ou igual a R$ 500,00.

(f) Qual é o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benefício desta viagem?

(g) Se A é o conjunto das viagens viáveis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade. Diga por que A \subset V.

(h ) A empresa quer que a viagem de seu funcionário seja proveitosa e viável. Represente, por meio de uma expressão envolvendo os conjuntos V, P e A (não necessariamente todos aparecerão na expressão!), bem como as operações entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes critérios.

Por razões de foro íntimo, o funcionário diz que não pode voar às quintas-feiras e sextas-feiras, que caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As possíveis viagens que possuem algum voo nestas datas são chamadas, pelo funcionário, de amaldiçoadas, e o conjunto das viagens amaldiçoadas é denotado por M.

(i) Represente, por uma propriedade, o conjunto M.

(j) Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M.

(k) A empresa resolveu compreender as questões íntimas de seu funcionário e não deseja submetê-lo a uma viagem amaldiçoada, afinal, ele não seria nada produtivo nessas circunstâncias. Determine, por uma expressão envolvendo os conjuntos V, P, A e M (não necessariamente todos) e suas operações, o conjunto D das viagens que o funcionário poderá fazer.

(l) Represente o conjunto D enumerando seus elementos. [Em algum momento, você precisará calcular o custo-benefício das viagens. Se prestar atenção ao que está sendo pedido, você não precisará calcular o custo-benefício de todas as possíveis viagens (que são muitas!!!)]

Answer 1

(a) Explique como e por que uma possível viagem pode ser representada por um par ordenado. 

 R: Toda função real pode ser representada por pares ordenados de números que seguem uma seqüência, como uma progressão. Para as funções são dados valores de "x" e encontrados os valores correspondentes em "y", formando-se assim os pares ordenados representados por (x,y).  Em matemática, um par ordenado (a, b) é uma parte do objeto matemático. Consiste de dois elementos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro elemento e o outro como segundo elemento. Aqui os valores de i= 1 a 7 e v= 8 a 14.

Espero ter ajudado!