Question

Uma das aplicações para o cálculo integral é a área limitada entre curvas. Sabendo disso, determine a área compreendida entre y= 2-x² e a reta y= -x
Alternativas:

a)
3,5 u. a.

b)
4,5 u. a.

c)
5,5 u. a.

d)
6,5 u. a.

Answer 1

Oi

Para encontar os limites de integração vamos igualar as funções:

2-x² = -x
-x² + x +2 =0 

Resolvendo por Bascara: 
Δ = b² - 4.a.c 
Δ = 1² - 4 . -1 . 2 
Δ = 1 +8 
Δ = 9

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (-1 + √9)/2.-1     x'' = (-1 - √9)/2.-1
x' = 2 / -2                  x'' = -4 / -2
x' = -1                       x'' = 2

Usaremos -1 e 2 como nossos limites de integração para calculara a área através da integral. 

$| \int\limits^2_{-1} {-x^2+x+2} \, dx \\ \\( - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^2}{2} +2x)\ |_{-1}^2 \\ \\ ( - \frac{2^3}{3}+ \frac{2^2}{2} +2.2)-( - \frac{(-1)^3}{3}+ \frac{(-1)^2}{2} +2.(-1)) \\ \\ ( - \frac{8}{3}+ \frac{4}{2} +4)-( \frac{1}{3}+ \frac{1}{2} -2) \\ \\ \frac{10}{3} + \frac{7}{6} =\boxed{ \frac{9}{2} u.a. }$

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